מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/תמורות/סידור איברים שונים בשורה

מספר התמורות של $n$ איברים שונים

הגדרה 7.2: מספר התמורות של $n$ איברים שונים הוא $p_{n}=n!$ מספר התמורות של $n$ אברים שונים הוא $n!$

הוכחה:

Permutations

נניח כי יש לנו $n$ אברים שונים שאנחנו רוצים לסדר בשורה.

• נסתכל על המקום הראשון בשורה: ניתן לבחור אליו כל אחד מ־$n$ האיברים בו ולכן קיימים לו $n$ אפשרויות.
• נסתכל במקום השני בשורה: נותרו לנו $n-1$ איברים ולכן ניתן לשבץ במקום השני רק $n-1$ אפשרויות. הרי איבר אחד כבר שובץ במקום הראשון, ולכן אינו יכול להיות בשני מקומות בו־זמנית.
• במקום השלישי : נשארו לנו $n-2$ איברים ולכן קיימים רק $n-2$ אפשרויות לשבץ במקום זה.
• עבור $k$ איברים יישארו לנו $n-k$ איברים ולכן ניתן לשבץ $n-k+1$ אפשרויות.
• במקום האחרון יש רק אפשרות אחת – האבר הבודד שנשאר.

על פי עקרון הכפל והחיבור מספר האפשרויות הכולל לסידור הוא $n(n-1)*\cdots *2*1=n!$ .