מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/חליפות/בחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרה

טענה 1: מספר האפשרויות לבחור מספר עם חשיבות לסדר בחירת האיברים ועם החזרה על אותה בחירה מספר האפשרויות לבחור $k$ איברים מתוך $n$ איברים שונים זה מזה כאשר הבחירה היא עם חשיבות לסדר ועם החזרה הוא $n^{k}$

עד כה עסקנו בחליפות שהוגדרו כבחירה של $\ k$ מתוך $\ n$ איברים עם חשיבות לסדר וללא החזרה - כלומר ללא האפשרות לבחור באותו איבר פעמיים. מה קורה אם מחזירים את האיבר בו בוחרים וניתן להוציא אותו שוב?

ברור כי $\ k$ יוכל להיות גדול מ-$\ n$ שכן הפעם לא "אוזלים" לנו האיברים שניתן לבחור מהם.

איך תשתנה הנוסחאות ${\frac {n!}{(n-k)!}}$?

מכיוון שיש לנו $\ n$ איברים ומתוכם אנו רוצים לבחור $\ k$ עם חשיבות לאיברים המתקבלים בכל סיבוב:

1. בבחירה הראשונה $k_{1}$ יש לנו $n$ אפשרויות
2. בבחירה הראשונה $k_{2}$ יש לנו $n$ אפשרויות
3. בבחירה הראשונה $k_{3}$ יש לנו $n$ אפשרויות

נקבל שמספר האפשרויות הכולל הוא $\ n\cdot n\cdots n=n^{k}.$.

דוגמה 1: כמה מספרים בני חמש ספרות קיימים? ספרת עשרות האלפים (מקום ראשון) - לא ניתן לבחור את המספר אפס ולכן יש לנו 9 בחירות אפשריות של ספרות. ספרת האלפים עד האחדות (4 המקומות הנותרים) - ניתן לבחור כל ספרה מתוך ה-10 הקימות. מכיוון שמותר להשתמש בכל ספרה יותר מפעם אחת ומיקום הספרות במספר הוא משמעותי יש לנו מקרה של חליפות עם החזרה. תוך שימוש בעקרון הכפל נקבל שהתשובה היא $\ 9\cdot 10^{4}=90,000$.