מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/קשרים לוגיים

קשרים לוגיים

בתורת הלוגיקה המתמטית, קשר לוגי הוא סימן אשר פועל על פסוקים אשר ניתן להעריך אם הם אמת או שקר. למשל, הפסוק "חמוס הוא יונק" הוא פסוק שניתן להעריך אם הוא אמת או שקר. במקרה זה, אנו מתבססים על עולם הביולוגיה, אשר סיווג את החמוסים וסיווג אותם בקבוצה. בעולם הביולוגי, פסוק זה הוא אמת מכיוון שהחמוס הוא בעל חיים ממשפחת היונקים, כלומר, חמוס מסויים הוא אבר בקבוצת היונקים. ישנם פסוקים שקריים. למשל, הפסוק "ישנו אדם שהוא חמוס" הוא (לפחות בעולם הביולוגיה) שקרי.
נתחיל את הדיון שלנו בקשרים לוגיים בשתי הגדרות:

• ערך אמת הוא אבר בקבוצה שמכילה שתי מילים: אמת ושקר. במילים אחרות, זה או המילה אמת, או המלה שקר (במובן הרגיל שלהן).
• קָשַר לוגי הוא התאמה בין אחד או יותר ערכי אמת לערך אמת יחיד חדש שנוצר מהם. למשל, אמת או אמת זה אמת. לא אמת זה שקר, שקר וגם אמת זה שקר וכו'.

במתמטיקה וגם בחיים משפטים לרוב מורכבים מ"תת משפטים" כלומר, משפטים קטנים יותר שמרכיבים אותם. במשפט "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" יש למעשה שני משפטים קטנים יותר, שכל אחד מהם ניתן להעריך אם הוא נכון או לא. למשל, אני יודע אם באמת היום ירד גשם, אז אני יכול לקבוע אם היום ירד גשם זה אמת, וגם אני יודע, מנסיון, שאין באמת סוסים שמדברים עברית, כלומר, המשפט "אין סוסים שמדברים עברית", שמרכיב את המשפט כולו, הוא אמיתי בעולם שלי. על-כן, אם אכן היום באמת ירד גשם אז המשפט הגדול "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" הוא כולו אמת. מצד שני, אם היום לא ירד גשם, אז המשפט "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" הוא שקרי, מכיוון שהיום לא ירד גשם, ולכן זה בכלל לא משנה אם יש או אין סוסים שמדברים עברית, המשפט "היום ירד גשם וגם אין סוסים שמדברים עברית" הוא פשוט לא נכון. לו היינו מחליפים את המלה וגם במלה או ועוברים למשמעות מתמטית של המלה "או" היתה למשפט משמעות שונה לחלוטין. למעשה, כעת היינו מקבלים משפט אמיתי מכיוון שזה לא משנה אם ירד גשם או לא, הרי ידוע לנו שאין סוסים שמדברים עברית לכן המשפט "היום ירד גשם או שאין סוסים שמדברים עברית" הוא אמיתי, למרות שהוא נשמע קצת מגוחך.
בניגוד לשפה העברית, במתמטיקה ישנה משמעות שונה למילה "או". המילה או בעברית המחברת בין שני משפטים, תהפוך את המשפט המורכב לאמת אם רק אחד משני המשפטים הוא אמת. לדוגמא: "היום ירד גשם או שאין סוסים שמדברים עברית" הוא אמת רק אם באמת לא ירד גשם. במתמטיקה אין הדבר כך. המשפט "היום ירד גשם או שאין סוסים שמדברים עברית" הוא אמת אם לפחות אחד מהמשפטים המחוברים הוא אמת (מספיק אחד).

טבלאות אמת

הבא נתבונן יותר בכלליות על המושגים שדיברנו עד כה. מילת הקשר העברית "או" כרגע הופעלה כקשר לוגי, וחיברה בין שני משפטים שונים, אשר כל אחד מהם הוא אולי אמת או אולי שקר. נשים לב שמדובר כאן בלוגיקה מאוד פשוטה. משפט שבנוי משני משפטים קטנים ומילת חיבור "או" הוא אמת, אם ורק אם, לפחות אחד מהם הוא אמת. אז ניתן לכתוב זאת בטבלא, שתקרא טבלאת אמת. המשפט הימני יקרא $\;A$ ואילו השמאלי יקרא $\;B$. נבנה טבלא:

$\;A$	$\;B$	$\;A$ או $\;B$
אמת	אמת	אמת
אמת	שקר	אמת
שקר	אמת	אמת
שקר	שקר	שקר

כלומר, כאשר, למשל, שני המשפטים שקר, אז גם החיבור בעזרת או הוא שקר.

הקשרים הבסיסיים "או", "וגם" ו"לא"

שלושת הקשרים הפשוטים והחשובים ביותר להבנה הם הקשרים "או", "וגם" ו"לא". הקשר "לא" הוא הפשוט ביותר, הוא לא מחבר משפטים, אבל הוא יכול להקדים את המשפט ולהפוך את משמעותו. למשל "לא היום ירד גשם", זה בדיוק הפוך ל"היום ירד גשם", לכן, טבלת האמת של "לא" היא:

$\;A$	לא $\;A$
אמת	שקר
שקר	אמת

ברור שזהו הקשר הפשוט ביותר, מכיוון שהוא פועל על ערך אמת יחיד בעוד ש"או" ו"וגם" פועלים על שנים. נמשיך ונבנה את טבלת האמת של "וגם". קשר זה מחבר שני משפטים כפי שראינו לעיל, והתוצאה היא אמת אם ורק אם אין אף שקר מבין המשפטים המחוברים. אז:

$\;A$	$\;B$	$\;A$ וגם $\;B$
אמת	אמת	אמת
אמת	שקר	שקר
שקר	אמת	שקר
שקר	שקר	שקר

כמו-כן, ניתן לבצע הרכבות או להחליף מקומות. למשל, $\;A$ וגם לא $\;B$. במקרה הזה, נקבל:

$\;A$	$\;B$	$\;A$ וגם לא $\;B$
אמת	אמת	שקר
אמת	שקר	אמת
שקר	אמת	שקר
שקר	שקר	שקר

עוד ניתן גם להוסיף משפט שלישי למשל, או רביעי וכו', אבל ככל שמוסיפים יותר משפטים הטבלא תעשה יותר ויותר גדולה. לקשרים הלוגיים יש סימונים מתמטיים. ניתן להשתמש בסימונים הללו, אך ניתן גם לכתוב במילים, מה שלעיתים קרובות נוח יותר לקריאה. הקשר "או" מסומן כ-"$\vee$", הקשר "וגם" מסומן כ-"$\wedge$" והקשר "לא" מסומן כ-"$\sim$".

קשרים לוגיים וקבוצות

ישנו קשר בין הפעולות שניתן לבצע על קבוצות לבין הקשרים הלוגיים. למשל, קבוצה שמכילה את כל היונקים הלבנים, וקבוצה אחרת שמכילה את כל היונקים השחורים, הן שתי קבוצות אשר נסמנן ב-$\;A$ ו-$\;B$ בהתאמה. קבוצת האיחוד היא קבוצה חדשה $\;A\cup {B}$ שמכילה את כל היונקים שהם שחורים או לבנים. לעומתה, הקבוצה של החיתוך, כלומר $\;A\cap {B}$ היא קבוצה שמכילה את כל היונקים שהם לבנים ושחורים גם יחד (זה נשמע אולי כמו סתירה, ואם זו אכן סתירה אז החיתוך הוא הקבוצה הריקה, אך למעשה, זה תלוי בכיצד קובעים אם יונק הוא שחור או לא). כלומר, איחוד של שתי הקבוצות זה בחירה כל האברים שהם מ-$\;A$ או מ-$\;B$ וחיתוך זה בחירת כל האברים שהם ב-$\;A$ וגם ב-$\;B$. איחוד מתאים לקשר או ואילו חיתוך מתאים לקשר וגם. על הקורא מוטלת המשימה של להבין מדוע הקשר לא מתאים לפעולת החיסור בין קבוצות.

הפרק הקודם: איחוד וחיתוך

קשרים לוגיים תרגילים

הפרק הבא: תחומי הצבה והגדרה