מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סכום סדרה חשבונית

הסכום של סדרה חשבונית

לעתים קרובות נתעניין בסכום האברים של הסדרה החשבונית. בצורה פורמלית הסכום של הסדרה $a_{1},\dots ,a_{n}$ מוגדר כך:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}$

חשוב לשים לב שאנחנו סוכמים רק מספר סופי של אברים. נוסחא לסכום זה היא:

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

הוכחת הנוסחא

כדי לראות את נכונות הנוסחא נשים לב כי הסכום של האבר הראשון והאחרון זהה לסכום האבר השני והאבר לפני-האחרון. הסיבה לכך היא שהאבר השני אמנם גדול מהראשון ב- $d$ אבל האבר הלפני אחרון קטן מהאבר האחרון ב- $d$ . באופן כללי אפשר לראות באותה הדרך כי $a_{1}+a_{n}=a_{k}+a_{n-k+1}$ .

על כן, אם נסדר את אברי הסדרה זוגות זוגות - האבר הראשון והאחרון, האבר השני והאבר לפני-האחרון, וכן הלאה - נקבל שסכום כל אחד מהזוגות הוא $a_{1}+a_{n}$ ולכן הסכום של כל האברים הוא $a_{1}+a_{n}$ כפול מספר הזוגות, שהוא בדיוק חצי ממספר האברים: ${\frac {n}{2}}$ . אם $n$ הוא אי-זוגי זו אינה בעיה - אחד מהזוגות ייספר חצי פעם, במקום פעם אחת שלמה.

לדוגמא, בסדרה $1,2,3,4,5$ סכום האבר הראשון והאחרון הוא 6 וכך גם סכום האבר השני והרביעי. אם מחברים את האבר השלישי עם עצמו מקבלים גם כן 6, אבל הוא מופיע פעם אחת בלבד ולכן אבר זה נספר כחצי זוג ותורם רק 3 לסכום. על-פי הנוסחא הסכום יהיה ${\frac {5\cdot 6}{2}}=15$ , וזהו אכן סכומם של האברים.

מסופר על המתמטיקאי המפורסם קרל פרידריך גאוס שגילה הוכחה זו בגיל 7 לאחר שבבית ספרו הטיל המורה על התלמידים מטלה של סיכום כל המספרים מ-1 עד 100 במטרה להעסיק אותם שעה ארוכה, וגאוס פתר את התרגיל כמעט מיד.

נוסחאות נוספות

מקרה א' (האבר הראשון וההפרש ידועים)

אם נציב בנוסחת הסכום שקיבלנו את הנוסחא עבור האבר הכללי של סדרה חשבונית נקבל:

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[a_{1}+a_{1}+(n-1)d]}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$

ואכן, זוהי נוסחא שדורשת הכרה רק של $d$ ושל $a_{1}$ .

מקרה ב' (האבר האחרון וההפרש ידועים)

ראשית נבטא את האבר הראשון באמצעות האיבר האחרון, באמצעות הנוסחא לאבר כללי של סדרה:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$a_{1}=a_{n}-(n-1)d$

כעת, נציב בנוסחת הסכום הראשונה:

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[a_{n}-(n-1)d+a_{n}]}{2}}={\frac {n[2a_{n}-(n-1)d]}{2}}$

$S_{n}={\frac {n[2a_{n}-(n-1)d]}{2}}$