מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה רביעית

בפרק זה נעסוק במשוואות כלליות ממעלה רביעית בתבנית

$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$$

יש לציין כי הנושא איננו שייך במישרין למתמטיקה תיכונית, שכן הוא ארוך ומסובך בהרבה ממשוואות ריבועיות ואף יותר ממשוואות קוביות.
לא נטעה אם נאמר כי תלמיד ממוצע איננו מכיר את הנושא.

הקדמה

בטרם ניגש לנושא, חשוב להזכיר את המקור העיקרי לפתרון הבעיה.

לפני כ־500 שנה, עסקו מתמטיקאים איטלקיים בבעיה זו. כפי שהאלגוריתם הטריוויאלי למציאת שורשי "משוואה ריבועית" היה ידוע, הם ניסו למצוא אלגוריתם למציאת שורשי "משוואה קובית".

כמה מאותם מתמטיקאים, הידועים בשמות לוקה פאצ'ולי, שיפיונה דל־פרו, אנטוניו פיור, ניקולו פונטאנא (טארטאגליה), ג'ירולמו קארדאנו, לודוויקו פרארי, היו עורכים ביניהם תחרויות ידע פומביים בהתערבויות כספיות. רובם שומרים היו בסוד את פתרונותיהם כדי שיוכלו להביס את יריביהם. לעתים נאלצים היו המנוצחים אף לפנות את משרותיהם באוניברסיטאות לטובת מנצחיהם.

פאצ'ולי, כנראה עקב כמה נסיונות נפל, פרסם בשנת 1494 ספר לימוד ובו טען נחרצות כי משוואות אלה אינן פתירות בשיטות אלגבריות.

הדבר דירבן את המתמטיקאי דל־פרו, שנים אחדות לאחר מכן, למצוא פתרון למשוואות מסוג $x^{3}+ax+b=0$, שאותו שמר בסוד זמן מה עד שהפקידו בידי תלמידו פיור, שעשה בו שימוש בהתמודדות מול טארטאגליה ("גמגמן"). לתדהמתו, זה האחרון מצא פתרון לסוג המשוואות $x^{3}+ax^{2}+b=0$ כמו גם את פתרונו שלו והביס אותו.

עתה ניצב טארטאגליה מול מתחרה נוקשה יותר, קארדאנו, שלאחר מאמצים ושכנועים כבירים הצליח להוציא מטארטאגליה את פתרונו באמצעות שיר צופן, תוך שבועה שישמור זאת בסוד עד אשר ידפיס טארטאגליה הכל בספר משלו. בעזרת תלמידו פרארי הרחיב קארדאנו את האפשרויות למשוואות מסוג $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ תוך הפיכתן למשוואה פשוטה יותר כשל טארטאגליה. תוך כדי כך, גילה פרארי פתרון אחר הקשור למשוואה ממעלה רביעית (קווארטית).

כשרצו השניים לפרסם זאת בספר משלהם, הם לא ידעו כיצד להפר את השבועה הסודית לטארטאגליה. ואז, בשיחה עם יורשו של דל־פרו, דלה־נאווה, התברר להם כי דל־פרו אכן פתר בסוד את המשוואה הקובית לפני טארטאגליה, כך שהשבועה בטלה כביכול. הם פרסמו את הפתרונות בספר האומנות הגדולה. הם הסתכסכו עם הגמגמן הזועם, וזה לבסוף ערך תחרות עם פרארי, שהביסו בקלות.

כיצד נחלץ את x?

נתונה לנו המשוואה

$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$$

נחלק אותה במקדם של $x^{4}$:

$$x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0$$

ננסה להשלים אותה לתבנית מן הצורה

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$

נחבר ונחסר ביטויים מתאימים בשני האגפים:

$${\begin{matrix}{\color {Orange}{\Bigg (}}x^{4}+{\color {red}4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)x^{3}}+{\color {green}6\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}x^{2}}+{\color {Cerulean}4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{3}x}+{\color {blue}\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}{\color {Orange}{\Bigg )}}+{\dfrac {c}{a}}x^{2}-{\color {green}6\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}x^{2}}-{\color {Cerulean}4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{3}x}+{\dfrac {d}{a}}x={\color {blue}\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\{\color {Orange}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}+{\dfrac {c}{a}}x^{2}-6\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}x^{2}-4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{3}x+{\dfrac {d}{a}}x=\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}x^{2}}+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {VioletRed}x}={\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}-{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {VioletRed}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}-{\dfrac {b}{4a}}\right)}={\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}-{\color {JungleGreen}{\dfrac {b}{2a}}}\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}+{\color {JungleGreen}\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {VioletRed}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}-{\color {VioletRed}{\dfrac {b}{4a}}}\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right)={\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}+\left({\dfrac {3b^{2}}{16a^{3}}}-{\dfrac {bc}{2a^{2}}}\right){\color {RawSienna}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {RawSienna}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}=-\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)+{\dfrac {b}{4a}}\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right)+{\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}+\left({\dfrac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\dfrac {bc}{2a^{2}}}+{\dfrac {d}{a}}\right)\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)={\dfrac {3b^{4}}{128a^{4}}}-{\dfrac {b^{2}c}{16a^{3}}}+{\dfrac {bd}{4a^{2}}}-{\dfrac {b^{4}}{64a^{4}}}+{\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\{\color {Bittersweet}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}+{\dfrac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}{\color {Bittersweet}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}+{\dfrac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}{\color {Bittersweet}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}+{\dfrac {16ab^{2}c+256a^{3}e-3b^{4}-64a^{2}bd}{256a^{4}}}=0\\\\{\color {Bittersweet}y^{4}}+p{\color {Bittersweet}y^{2}}+q{\color {Bittersweet}y}+r=0\end{matrix}}$$

נפרק את התבנית הזאת למכפלת שני גורמים ממעלה שניה:

$${\begin{matrix}y^{4}+py^{2}+qy+r\,=\,(y^{2}+{\mathsf {A}}y+{\mathsf {B}})(y^{2}+{\mathsf {C}}y+{\mathsf {D}})\\\\y^{4}+{\color {red}0}y^{3}+{\color {Orange}p}y^{2}+{\color {green}q}y+{\color {blue}r}\,=\,y^{4}+{\color {red}({\mathsf {A+C}})}y^{3}+{\color {Orange}({\mathsf {AC+B+D}})}y^{2}+{\color {green}({\mathsf {AD+BC}})}y+{\color {blue}{\mathsf {BD}}}\end{matrix}}$$

מהשוואת המקדמים מתקבל

$${\begin{aligned}0&={\mathsf {A+C}}\\[3pt]p&={\mathsf {AC+B+D}}\\[3pt]q&={\mathsf {AD+BC}}\\[3pt]r&={\mathsf {BD}}\end{aligned}}$$

נשכתב את השוויונות הראשונים באופן הבא:

$${\begin{aligned}{\mathsf {C}}&=-{\mathsf {A}}\\[3pt]{\mathsf {B+D}}&={\mathsf {A}}^{2}+p\\[3pt]{\mathsf {D-B}}&={\dfrac {q}{\mathsf {A}}}\end{aligned}}$$

נחבר ונחסר את שני השוויונות האחרונים, ונקבל:

$${\begin{aligned}{\mathsf {B}}&={\dfrac {{\mathsf {A}}^{2}+p}{2}}-{\dfrac {q}{2{\mathsf {A}}}}\\[3pt]{\mathsf {D}}&={\dfrac {{\mathsf {A}}^{2}+p}{2}}+{\dfrac {q}{2{\mathsf {A}}}}\\[5pt]{\mathsf {BD}}&={\bigg (}{\dfrac {{\mathsf {A}}^{2}+p}{2}}{\bigg )}^{2}-{\bigg (}{\dfrac {q}{2{\mathsf {A}}}}{\bigg )}^{2}=r\end{aligned}}$$

מן השוויון האחרון נקבל משוואה ממעלה שלישית בנעלם ${\mathsf {A}}^{2}$:

$$({\mathsf {A}}^{2})^{3}+2p({\mathsf {A}}^{2})^{2}+(p^{2}-4r){\mathsf {A}}^{2}-q^{2}=0$$

לאחר שפותרים אותה נותר להציב בביטויים הקודמים כדי לקבל את ${\mathsf {B}},\!{\mathsf {D}}$, ואז מתקבלים השורשים למשוואה המקורית על ידי פתרון משוואה ממעלה שניה.