מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה רביעית

בפרק זה נעסוק במשוואות כלליות ממעלה רביעית בתבנית $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ .

יש לציין כי הנושא לא שייך במישרין למתמטיקה תיכונית, שכן הוא ארוך ומסובך בהרבה ממשוואות ריבועיות ואף יותר ממשוואות קוביות. לא נטעה אם נאמר כי תלמיד ממוצע אינו מכיר את הנושא.

הקדמה

בטרם ניגש לנושא, חשוב להזכיר את המקור העיקרי לפתרון הבעיה.

לפני כ־500 שנה, עסקו מתמטיקאים איטלקיים בבעיה זו. כפי שהאלגוריתם הטריוויאלי למציאת שורשי "משוואה ריבועית" היה ידוע, הם ניסו למצוא אלגוריתם למציאת שורשי "משוואה קובית".

כמה מאותם מתמטיקאים, הידועים בשמות לוקה פאצ'ולי, שיפיונה דל־פרו, אנטוניו פיור, ניקולו פונטאנא (טארטאגליה), ג'ירולמו קארדאנו, לודוויקו פרארי, היו עורכים ביניהם תחרויות ידע פומביים בהתערבויות כספיות. רובם היו שומרים בסוד את פתרונותיהם כדי שיוכלו להביס את יריביהם בהתערבות. המפסידים היו נאלצים לפנות את משרותיהם באוניברסיטות לטובת מנצחיהם.

פאצ'ולי, כנראה עקב כמה ניסיונות נפל, פרסם ספר בשנת 1494, בו טען כי לא ניתן לפתור משוואות אלו.

הדבר דירבן את המתמטיקאי דל־פרו כמה שנים מאוחר יותר למצוא פתרון למשוואות מסוג $x^{3}+ax+b=0$ , שאותו שמר בסוד זמן מה עד שהפקידו בידי תלמידו פיור, שעשה בו שימוש בהתמודדות מול טארטאגליה ("גמגמן"). לתדהמתו, זה האחרון מצא פתרון לסוג המשוואות $x^{3}+ax^{2}+b=0$ כמו גם את פתרונו שלו והביס אותו.

עתה ניצב טארטאגליה מול מתחרה נוקשה יותר, קארדאנו, שלאחר מאמצים ושכנועים כבירים הצליח להוציא מטארטאגליה את פתרונו באמצעות שיר צופן, תוך שבועה שישמור סוד עד אשר ידפיס טארטאגליה הכל בספר משלו. בעזרת תלמידו פרארי הרחיב קארדאנו את האפשרויות למשוואות מסוג $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ תוך הפיכתן למשוואה פשוטה יותר כשל טארטאגליה. תוך כדי כך, גילה פרארי פתרון אחר הקשור למשוואה ממעלה רביעית (קווארטית).

כשרצו השניים לפרסם זאת בספר משלהם, הם לא ידעו כיצד להפר את השבועה הסודית לטארטאגליה. ואז, בשיחה עם יורשו של דל־פרו, דלה־נאווה, התברר להם כי דל־פרו אכן פתר בסוד את המשוואה הקובית לפני טארטאגליה, כך שהשבועה בטלה כביכול. הם פרסמו את הפתרונות בספר האומנות הגדולה. הם הסתכסכו עם הגמגמן הזועם, וזה לבסוף ערך תחרות עם פרארי, שהביסו בקלות.

כיצד נחלץ את x?

נתונה לנו המשוואה

$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$$

נחלק אותה במקדם של $x^{4}$:

$$x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0$$

ננסה להשלים אותה לתבנית $(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$.

נחבר ונחסר ביטויים מתאימים בשני האגפים:

$${\begin{matrix}{\color {Orange}{\Bigg (}}x^{4}+{\color {red}4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)x^{3}}+{\color {green}6\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}x^{2}}+{\color {Cerulean}4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{3}x}+{\color {blue}\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}{\color {Orange}{\Bigg )}}+{\dfrac {c}{a}}x^{2}-{\color {green}6\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}x^{2}}-{\color {Cerulean}4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{3}x}+{\dfrac {d}{a}}x={\color {blue}\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\{\color {Orange}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}+{\dfrac {c}{a}}x^{2}-6\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}x^{2}-4\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{3}x+{\dfrac {d}{a}}x=\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}x^{2}}+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {VioletRed}x}={\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}-{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {VioletRed}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}-{\dfrac {b}{4a}}\right)}={\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}-{\color {JungleGreen}{\dfrac {b}{2a}}}\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {JungleGreen}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}+{\color {JungleGreen}\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {VioletRed}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}-{\color {VioletRed}{\dfrac {b}{4a}}}\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right)={\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}+\left({\dfrac {3b^{2}}{16a^{3}}}-{\dfrac {bc}{2a^{2}}}\right){\color {RawSienna}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}+\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right){\color {RawSienna}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}=-\left({\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)+{\dfrac {b}{4a}}\left({\dfrac {d}{a}}-{\dfrac {b^{3}}{16a^{3}}}\right)+{\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}+\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}+\left({\dfrac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\dfrac {bc}{2a^{2}}}+{\dfrac {d}{a}}\right)\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)={\dfrac {3b^{4}}{128a^{4}}}-{\dfrac {b^{2}c}{16a^{3}}}+{\dfrac {bd}{4a^{2}}}-{\dfrac {b^{4}}{64a^{4}}}+{\dfrac {b^{4}}{256a^{4}}}-{\dfrac {e}{a}}\\\\{\color {Bittersweet}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{4}}+\left({\dfrac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\right){\color {Bittersweet}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)^{2}}+\left({\dfrac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\right){\color {Bittersweet}\left(x+{\dfrac {b}{4a}}\right)}+{\dfrac {16ab^{2}c+256a^{3}e-3b^{4}-64a^{2}bd}{256a^{4}}}=0\\\\{\color {Bittersweet}y^{4}}+p{\color {Bittersweet}y^{2}}+q{\color {Bittersweet}y}+r=0\end{matrix}}$$

כיצד נמשיך מכאן?

ננסה לפרק את התבנית הזו למכפלת שני גורמים ממעלה שניה:

$${\begin{matrix}y^{4}+py^{2}+qy+r=(y^{2}+Ay+B)(y^{2}+Cy+D)=0\\\\y^{4}+{\color {red}0}y^{3}+{\color {Orange}p}y^{2}+{\color {green}q}y+{\color {blue}r}=y^{4}+{\color {red}{\big (}A+C{\big )}}y^{3}+{\color {Orange}{\big (}AC+B+D{\big )}}y^{2}+{\color {green}{\big (}AD+BC{\big )}}y+{\color {blue}BD}=0\end{matrix}}$$

מהשוואת המקדמים מתקבל

$${\begin{matrix}A+C=0\\p=B+D-AC\\q=AD+BC\\r=BD\end{matrix}}$$

נשכתב את השוויונות הראשונים באופן הבא:

$${\begin{matrix}C=-A\\B+D=A^{2}+p\\D-B={\dfrac {q}{A}}\end{matrix}}$$

נחבר ונחסר את שני השוויונות האחרונים, ונקבל:

$${\begin{matrix}B={\dfrac {A^{2}+p}{2}}-{\dfrac {q}{2A}}\\D={\dfrac {A^{2}+p}{2}}+{\dfrac {q}{2A}}\\BD=r=\left({\dfrac {A^{2}+p}{2}}\right)^{2}-\left({\dfrac {q}{2A}}\right)^{2}\\\\(A^{2})^{3}+2p(A^{2})^{2}+(p^{2}-4r)A^{2}-q^{2}=0\end{matrix}}$$

קיבלנו משוואה ממעלה שלישית בנעלם $A^{2}$.

לאחר שפותרים אותה נותר להציב בביטויים הקודמים כדי לקבל את $B,D$, ואז מתקבלים השורשים למשוואה המקורית על ידי פתרון משוואה ממעלה שניה.