מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות כלליות בנעלם אחד

משוואות כלליות בנעלם אחד

כעת, אחרי שכבר ראינו חלק נכבד מסוגי המשוואות הרלוונטיים ללימודים לתיכון, הגיע הזמן לשלב את כל הטכניקות הללו ולהציג מספר טכניקות נוספות אשר יכולות להקל על פתרון משוואות במקרים רבים.

משוואות דו-ריבועיות

לעיתים אנו נתקלים במשוואה מהצורה:

ax^{4}+bx^{2}+c=0

זוהי משוואה ממעלה רביעית. הנוסחא לפתרון המשוואה הזו היא נוסחא מסובכת מאוד ואינה נלמדת לתיכון. למרות זאת, זהו רק סוג מסוים של משוואות ממעלה רביעית, סוג אשר אותו ניתן לפתור על נקלה. הפתרון מתבסס על הסימון $t=x^{2}$ . כלומר אנו עוברים לנעלם חדש - $t$ ומקבלים משוואה ריבועית, אותה אנו פותרים ללא קושי כפי שלמדנו. יש לשים לב, במקרה זה אנו מקבלים 4 פתרונות ולא 2 כפי שקיבלנו במשוואה ריבועית פשוטה. הבא נפתור משוואה כזו לדוגמא:

$x^{4}-25x^{2}+144=0$

$t^{2}-25t+144=0$

$t_{1}=16,t_{2}=9$

אך כאן לא סיימנו את הפתרון. אנו מחפשים את $x$ ולכן:

$x_{1,2}=\pm {\sqrt {t_{1}}}=\pm {\sqrt {16}}=\pm 4$

$x_{3,4}=\pm {\sqrt {t_{2}}}=\pm {\sqrt {9}}=\pm 3$

ובזאת מסתיים הפתרון של המשוואה הדו-ריבועית.

נתבונן בדוגמא נוספת:

$x^{4}-8x^{2}-128=0$

$t^{2}-8t-128=0$

$\Downarrow$

$t_{1}=16,t_{2}=-8$

נשים לב שכאן $t_{2}<0$ ולכן הוא איננו פתרון מתאים. הסיבה היא שאין מספר ממשי שהריבוע שלו הוא שלילי. כלומר, אין $x$ שניתן להעלותו בריבוע ולקבל $t_{2}$ . מכאן מסיקים שלמשוואה יש רק שני פתרונות והם $\;x_{1,2}=\pm 4$ .

משוואות עם ערכים מוחלטים

משוואות אלו ניתן גם לפתור בהרבה מהמקרים. קיימות שיטות רבות לפתרון משוואות אלו. נציג כמה מהן בלבד.

חלוקה למקרים

ניקח לדוגמא את המשוואה הבאה:

|x-5|=1

במקרה זה, הדרך הפשוטה ביותר היא לחלק את המשוואה למקרים. כיון שמדובר בערך מוחלט, הרי שהביטוי בתוך הערך המוחלט יכול להיות שלילי ועדיין לקיים את המשוואה. באותו אופן, הוא גם יכול להיות חיובי. לכן מחלקים את המשוואה לשני מקרים. האחד שבו הביטוי בתוך הערך המוחלט הוא חיובי, כלומר

x-5=1

כלומר $x=6$ ומקרה שני שבו

-(x-5)=1

והפתרון הוא $x=4$ וזהו הפתרון.

העלאה בריבוע

שיטת פתרון זו לא תמיד קשה יותר מחלוקה למקרים, כפי שניתן ללמוד מהדוגמא הקודמת. מותר להעלות בריבוע את שני אגפי המשוואה ללא חשש מכיוון ששניהם בהכרח חיוביים ולכן לא נקבל פתרון נוסף שלא היה במשוואה המקורית. מקבלים:

$|x-5|=1\quad /\uparrow ^{2}$