מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/לוגריתמים/תרגילים

חישוב לוגריתמים

$\log_{2} 32$

פתרון

$\log_{2} 32 = 5$ כי $2^{5} = 32$

$\log_{2} \frac{1}{16}$

פתרון

$\log_{2} \frac{1}{16} = \log_{2} 1 - \log_{2} 16 = 0 - 4 = - 4$

$\log_{32} 16$

פתרון

נזכור כי $2^{4} = 16, 2^{5} = 32$ ונראה ש- $\log_{32} 16 = \frac{\log_{2} 16}{\log_{2} 32} = \frac{4}{5}$

$\log_{10} \sqrt[5]{0.01}$

פתרון

$\log_{10} \sqrt[5]{0.01} = \log_{10} (0.01)^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \log_{10} 0.01 = \frac{1}{5} \log_{10} \frac{1}{100} = \frac{1}{5} \cdot (- 2) = - \frac{2}{5}$

$\log_{\sqrt{2}} \frac{8}{\sqrt{2}}$

פתרון

$\log_{\sqrt{2}} \frac{8}{\sqrt{2}} = \log_{\sqrt{2}} 8 - \log \sqrt{2} \sqrt{2} = \frac{\log_{2} 8}{\log_{2} \sqrt{2}} - 1 = \frac{3}{0.5} - 1 = 6 - 1 = 5$

$\log_{10} 2 + \log_{10} 5$

פתרון

$\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10} (2 \cdot 5) = \log_{10} 10 = 1$

ביטוי לוגריתמים על פי לוגריתמים אחרים

נתון: $\log_{2} 3 = a$ . הבע בעזרת a את הביטויים הבאים:

א. $\log_{2} 81$

פתרון א'

$\log_{2} 81 = \log_{2} 3^{4} = 4 \log_{2} 3 = 4 a$

ב. $\log_{2} 6$

פתרון ב'

$\log_{2} 6 = \log_{2} (3 \cdot 2) = \log_{2} 3 + \log_{2} 2 = a + 1$

ג. $\log_{2} (108)$

פתרון ג'

נפרק את 108 לגורמים ראשוניים: $108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot (2 \cdot 27) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3^{3}$ כעת: $\log_{2} 108 = \log_{2} (2^{2} \cdot 3^{3}) = \log_{2} (2^{2}) + \log_{2} (3^{3}) = 2 + \log_{2} (3^{3}) = 2 + 3 \log_{2} 3 = 2 + 3 a$

ד. $\log_{2} \frac{2}{3}$

פתרון ד'

$\log_{2} \frac{2}{3} = \log_{2} 2 - \log_{2} 3 = 1 - a$

ה. $\log_{2} \frac{3}{8}$

פתרון ה'

$\log_{2} \frac{3}{8} = \log_{2} 3 - \log_{2} 8 = a - 3$

ו. $\log_{2} \sqrt[7]{12}$

פתרון ו'

$\log_{2} \sqrt[7]{12} = \log_{2} 1 2^{\frac{1}{7}} = \frac{1}{7} \log_{2} 3 \cdot 4 = \frac{1}{7} (\log_{2} 3 + \log_{2} 4) = \frac{1}{7} (a + 2)$

ז. $\log_{4} 3$

פתרון ז'

$\log_{4} 3 = \frac{\log_{2} 3}{\log_{2} 4} = \frac{a}{2}$

ח. $\log_{3} 2$

פתרון ח'

$\log_{3} 2 = \frac{\log_{2} 2}{\log_{2} 3} = \frac{1}{a}$

ט. $\log_{2} 18$

פתרון ט'

$\log_{2} 18 = \log_{2} 3^{2} \cdot 2 = \log_{2} 3^{2} + \log_{2} 2 = 2 \log_{2} 3 + 1 = 2 a + 1$

נתון: $\log 1000 m^{7} = c$ (הערה: בתרגיל זה, חד פעמית, אם לא נכתוב את בסיס הלוגריתם, זה אומר שהבסיס הוא 10). הבע באמצעות c את הביטויים הבאים:

א. $\log m^{3}$

פתרון

ראשית כל, נרצה למצוא את הקשר בין $\log m$ ל- c.
עפ"י הנתון מתקיים: $\log 1000 m^{7} = c$ ולכן $c = \log 1000 m^{7} = \log 1000 + \log m^{7} = 4 + 7 \log_{m}$
לכן נסיק ש- $\log m = \frac{c - 4}{7}$ . מכאן, אפשר לפתור את כל התרגילים. לדוגמה א':
$\log m^{3} = 3 \log m = 3 \cdot \frac{c - 4}{7} = \frac{3 c - 12}{7}$

ב. $\log 100 m$

ג. $\log 10 m^{4}$

ד. $\log \frac{100}{m^{5}}$

ה. $\log (10 \sqrt[3]{m})$