מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
נזכור תמיד כי לכל לוגריתמים יש תחום ההגדרה כפי שהוצג בפרק הראשון.
החוק
|
הנוסחה
|
דוגמה
|
הוכחת החוק
|
הגדרת הלוגריתם
|
|
|
|
מעבר בסיסים
|
במידה ונרצה לחשב לוגריתם בבסיס אחר (ראה הערות), לכל מתקיים:
|
|
עכשיו נוציא משני האגפים של (2) לוגריתם בבסיס :
|
הרחבת הגדרת הלוגריתם
|
|
|
- נציב את (2) ב-(1) ונקבל:
|
לוגריתם של מכפלת שני מספרים
|
|
|
בנוסף, נכפיל את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:
|
לוגריתם של מנת שני מספרים
|
|
|
בנוסף, נחלק את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:
|
לוגריתם של חזקה
|
(לא להתבלבל עם חזקה על הלוגריתם כולו )
- בהתאם לחוקי חזקות
נוכל לטעון כי ![{\displaystyle log_{a}({\sqrt[{n}]{x}})={\frac {1}{n}}log_{a}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc49ba9defcd40ce08009f27f8a51e40fbab91a)
|
|
בנוסף, נעלה את שני אגפי משוואה (1) בחזקת . נקבל:
|
לוגריתם של חזקה - לא לבגרות
|
- בהתאם לחוקי חזקות
מפני שלאחר הוצאת הלוגריתמים מתקבל אותה תוצאה, ![{\displaystyle c^{\log _{c}(ab)}=ab\Leftrightarrow c^{\log _{c}a+\log _{c}b}=c^{\log _{c}a}c^{\log _{c}b}=ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd33d4ad009fd360f744aede1460ec99ebf02e7)
![{\displaystyle \log _{a^{n}}(b)={\frac {\log _{a}(b)}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1d195f082819cdbf11705ef0956290e00592f4)
- מתוך נוסחת המעבר וחוק כפל לוגריתמים :
![{\displaystyle \log _{a}(b)={\frac {\log _{b}(b)}{\log _{b}(a)}}={\frac {1}{\log _{b}(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25db08fb6665de8f92a288c01f1006aa48f92694)
|
|
|
מספר קבוע
|
( ו- )
|
|
|
מספר קבוע
|
( ו- )
|
|
|
- על הבסיס המיוחד
לומדים יותר בפירוט בזמן לימודי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
- כאשר יש לפנינו לוגריתם ללא בסיס לדוגמה,
הכוונה ללוגריתם שבסיסו
כלומר ![{\displaystyle log_{10}9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6901dd66599b5671c9891433e200966ed8cd81)
- כיום יש מחשבונים מתקדמים בהם ניתן לחשב בסיס שאינו 10 אך למי שאין ניתן להעזר בנוסחת המעבר בכדי לחשב בסיס שונה מ-10. לדוגמא:
![{\displaystyle \log _{4}(7)={\frac {\log _{10}(7)}{\log _{10}(4)}}={\frac {\log(7)}{\log(4)}}\approx {\frac {0.845}{0.602}}\approx 1.40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d327c792558cdc3d995db38d97fa795ff04a793)
- במחשבון קיים בסיס מובנה נוסף ללוגריתמים:
. הסימון המתמטי ללוגריתם בבסיס זה הוא
(יש לבטא "לַאן"). לכן את אותו החישוב יכולנו לעשות באמצעות הפונקציה
: