מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/בעיות גידול ודעיכה/זמן מחצית החיים

נתון חומר רדיואקטיבי שדועך מעריכית. זמן מחצית החיים של החומר הוא הזמן שיעבור עד שתישאר רק חצי מכמות החומר ההתחלתית. נחשב את זמן מחצית החיים.

$f(t)=k\cdot a^{t}$ ואנו רוצים ש$f(t)={\frac {k}{2}}$, כלומר:

$k\cdot a^{t}={\frac {k}{2}}\Rightarrow a^{t}={\frac {1}{2}}$ ולכן $t=\log _{a}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\ln \left({\frac {1}{2}}\right)}{\ln a}}=-{\frac {\ln 2}{\ln a}}$.

ראינו כי זמן מחצית החיים אינו תלוי בכמות ההתחלתית אלא רק בקצב הדעיכה a.

באותה דרך, אם נתון זמן מחצית החיים t, אז נוכל לקבל את קצב הדעיכה a:

$a^{t}={\frac {1}{2}}\Rightarrow a=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{t}}={\sqrt[{t}]{\frac {1}{2}}}$.

תרגילים