מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/נוסחת אוילר

חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות עד.

למספר $e=2.7183\dots$ המכונה בסיס הלוגריתם הטבעי יש חשיבות רבה במתמטיקה, והוא מופיע בהקשרים שונים ומשונים. בחלק זה נלמד על אחד מהקשרים אלו.

הפונקציה $f(x)=e^{x}$ מתאימה לכל מספר ממשי את $e$ מועלה בחזקה שלו. באופן טבעי עולה השאלה: מה יקרה אם במקום מספר ממשי $x$ נשתמש במספר מרוכב? כלומר, לכמה שווה $e^{a+bi}$ ?

ממבט ראשון השאלה עלולה להיראות חסרת פשר. לא ברור איזו משמעות ניתן לייחס למעריך שהוא מספר מרוכב. עם זאת, אין זה אומר שלא ניתן למצוא משמעות שכזו. כדאי לזכור כי גם $e^{\sqrt {2}}$ אינה חזקה שאנו רגילים לה באלגברה הבסיסית, בה אנחנו עובדים עם חזקות שהן מספרים רציונליים בלבד.

נוסחת אוילר

אחת התגליות החשובות שגילה המתמטיקאי לאונרד אוילר היתה המשמעות של אותה חזקה. מתברר כי מתקיימת הנוסחה הבאה:

$e^{\theta i}=\cos({\theta })+i\sin({\theta })$

הוכחת נוסחה זו דורשת ידע בחשבון אינפיניטסימלי ובפרט בתחום העוסק בטורי טיילור. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדויקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.

מהות נוסחת אוילר

מהנוסחה עולה כי $e$ בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב.

כמו גם שניתן לתאר כל מספר הנתון בהצגה טריגונומטרית גם בתור חזקה של $e$ באמצעות הנוסחה:

$r\cdot {\Big [}\cos({\theta })+i\sin({\theta }){\Big ]}=r\cdot e^{\theta i}$ .

נוסחה זו קצרה יותר לכתיבה מאשר ההצגה הקוטבית ולכן לרוב מעדיפים להשתמש בה.

קל לשימוש - מהנוסחה הזו יותר ברורות תכונות הכפל, החילוק והחזקה שאותן נראה בפרק הבא.

בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של $e$ עבור מספר מרוכב מהצורה $a+bi$ :

$e^{a+bi}=e^{a}\cdot e^{bi}=e^{a}\cdot {\mbox{cis}}(b)$

כלומר, $e$ בחזקת המספר $a+bi$ הוא מספר מרוכב שאורכו $e^{a}$ והזוית שלו עם הכיוון החיובי של ציר $x$ היא $b$ .

הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של $e$ עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר $b=0$ נקבל את המספר הממשי $e^{a}$ .

זהות אוילר ($e^{\pi i}$)

מקרה פרטי של השימוש בנוסחת אוילר הוא כאשר $\theta =\pi$ . במקרה זה נקבל:

$e^{\pi i}=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1$.

על-ידי העברת אגפים נקבל את הזהות:

$e^{\pi i}+1=0$ .

זהות זו קושרת יחד חמישה מהמספרים הבסיסיים ביותר במתמטיקה: $0$ , שהוא המספר הנייטרלי ביחס לחיבור, $1$ שהוא המספר הנייטרלי ביחס לכפל, $\pi$ שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, $e$ ו- $i$ .

הוכחה

בחלק זה נראה את רעיון ההוכחה של נוסחת אוילר. ההוכחה מתבססת על התכונה $i^{2}=-1$ ועל טור הטיילור של הפונקציות $e^{x},\sin(x),\cos(x)$ .

טור טיילור הוא מושג השייך לתחום החשבון האינפיניטסימלי. טור טיילור של פונקציה כלשהי בנקודה מסויימת הוא סכום אינסופי של מספרים, כך שככל שמסכמים בו יותר מספרים, הסכום הולך ומתקרב למספר שהוא הערך של הפונקציה בנקודה הזו.

למשל, טור הטיילור של $e^{x}$ הוא זה:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots$

האבר הימני ביותר בטור, זה שבו מופיע $n$ , נקרא האבר הכללי של הטור. כל אבר בטור הוא מהצורה של האבר הכללי, עבור ערכים שונים של $n$ , כאשר $n$ הוא מספר טבעי או אפס. נסו להציב את הערכים $n=0,1,2,3,4$ ותראו שאתם אכן מקבלים את האברים הראשונים בטור.

כעת נסו להציב $x=1$ והתחילו לחבר את אברי הטור. תראו כי הסכום שאתם מקבלים הולך ומתקרב לערכו של $e$ . ככל שתחברו יותר אברים כך תגדל רמת הדיוק שלכם, עד שלבסוף תעברו את הדיוק של מחשבוני כיס. אכן, אחת הדרכים שבה מחשבון יכול לחשב ערכים של פונקציות היא באמצעות טור הטיילור שלהן. כיון שהטור הוא אינסופי התוצאה שתתקבל לא תהיה מדויקת - אבל עבור פונקציות רבות, ניתן להשתמש בטורי טיילור שלהן כדי לקבל תוצאה שקרובה לערך האמיתי בכל רמת דיוק שנרצה.

טור טיילור יכול לשמש ליותר מאשר מציאת קירובים. כעת נראה כיצד משתמשים בו כדי להוכיח את זהות אוילר.

ראשית נציג את טורי טיילור של פונקציות הסינוס והקוסינוס:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

קרוב לודאי שאתם שמים לב לדמיון בין הטור של $e^{x}$ לטורים של סינוס וקוסינוס. קשר זה אינו מקרי, כמובן.

כעת נראה מה קורה כאשר אנו מציבים בטור של $e^{x}$ מספר מרוכב - כלומר, נציב $x=i\theta$ . נקבל:

${e^{\theta i}=1+i\theta +{\frac {(i\theta )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\theta )^{4}}{4!}}+{\frac {(5i)^{5}}{5!}}+\cdots =1+i\theta +{\frac {-\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {-i\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {i\theta ^{5}}{5!}}+\cdots =}$

$=\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+\dots \right)+i\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}+\dots \right)=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$

וכך קיבלנו את הנוסחה.

ההוכחה שלנו אינה מלאה, וחסרות לנו הצדקות לחלק מהמעברים שביצענו. בפרט המעבר שבו פירקנו את הטור שלנו לשני טורים שונים תוך שאנו משנים את סדר הסכימה דורש הצדקה. הצדקה זו שייכת לתחומי החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה המרוכבת, שאיננו נכנסים אליהם כאן.