מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/כפל וחילוק בהצגה הקוטבית

כפל בהצגה קוטבית

בפרק הקודם ראינו כי כל מספר מרוכב ניתן להצגה בצורה הבאה:

$z=r{\Big [}\cos(\theta )+i\sin(\theta ){\Big ]}$ .

נראה כעת כיצד נראית פעולת כפל על שני מספרים שנתונים בהצגה קוטבית. לשם כך ראשית כל נזכור שתי זהויות חשובות מטריגונומטריה:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

כעת נשתמש בהן בפעולת הכפל של שני מספרים מרוכבים כלליים:

$z_{1}=r_{1}{\Big [}\cos(\theta _{1})+i\sin(\theta _{1}){\Big ]}\ ,\ z_{2}=r_{2}{\Big [}\cos(\theta _{2})+i\sin(\theta _{2}){\Big ]}$ .

בפעולת הכפל נקבל:

$z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}{\Big [}\cos(\theta _{1})+i\sin(\theta _{1}){\Big ]}\cdot r_{2}{\Big [}\cos(\theta _{2})+i\sin(\theta _{2}){\Big ]}=$

${=r_{1}\cdot r_{2}{\bigg (}\cos(\theta _{1})\cos(\theta _{2})-\sin(\theta _{1})\sin(\theta _{2})+{\Big [}\sin(\theta _{1})\cos(\theta _{2})+\cos(\theta _{1})\sin(\theta _{2}){\Big ]}i{\bigg )}}=$

$=r_{1}\cdot r_{2}{\Big (}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}){\Big )}$

קיבלנו תוצאה פשוטה ויפה: המכפלה של שני מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית היא מספר מרוכב בהצגה קוטבית שהערך המוחלט שלו הוא מכפלת הערכים המוחלטים של שני המספרים, והארגומנט שלו הוא סכום הארגומנטים של שני המספרים המרוכבים. יתכן שבגלל פעולת החיבור הארגומנט יחרוג מעבר לגבול 360 המעלות, איך אין לכך חשיבות של ממש, וניתן יהיה להחליפו בזוית המתאימה בתחום הנכון.

חילוק מספרים בהצגה הקוטבית

נזכר במספר פעולות ראשית שכאשר אנו רוצים לבצע חילוק אנחנו למעשה רוצים לבצע כפל כלומר, ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}=z_{1}\cdot {\frac {1}{z_{2}}}$

כמו כן ראינו כבר כי אם $z_{2}\neq 0$ נוכל להכפיל את האיבר המחולק במספר הצמוד שלו ונקבל את הצמוד חלקי הערך המוחלט של המספר המחולק, דהינו, ${\frac {1}{z_{2}}}={\frac {\overline {z_{2}}}{|z_{2}|^{2}}}={\frac {\overline {z_{2}}}{r^{2}}}$

בנוסף, הצגתו של המספר הצמוד בהצגה קוטבית הינו ${\overline {z_{2}}}=r(\cos \theta -i\sin \theta )$

נציב ונקבל:

${\frac {1}{z_{2}}}={\frac {r(\cos \theta -i\sin \theta )}{r^{2}}}={\frac {\cos(\theta )-i\sin(\theta )}{r}}={\frac {\cos(-\theta )+i\sin(-\theta )}{r}}$

על-פי כלל הכפל בהצגה הקוטבית שהדגמנו בתחילת הפרק, נקבל:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}{\Big (}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}-\theta _{2}){\Big )}$

כלומר, תוצאת פעולת החילוק של שני מספרים מרוכבים היא מספר מרוכב שהערך המוחלט שלו הוא מנת הערכים המרוכבים של שני המספרים, והארגומנט שלו הוא הפרש שני הארגומנטים של המספרים המרוכבים.