מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/השורשים מסדר n

מציאת שורשים

כעת אנו יודעים להעלות מספרים מרוכבים בחזקה שהיא מספר שלם. מה עם חזקה שהיא מספר רציונלי? לשם כך עלינו לדעת כיצד ניתן להוציא שורשים.

נעסוק בשאלה הכללית של שורש מסדר $n$ . כלומר, בהינתן מספר מרוכב $z$ נרצה למצוא את ${\sqrt[{n}]{z}}$ , שהוא מספר $w$ כך ש- $w^{n}=z$

המספרים המרוכבים נבדלים בצורה מהותית מהמספרים הממשיים בכל הנוגע להוצאת שורשים. למספר ממשי היו לכל היותר שני שורשים אפשריים, בכל סדר שהוא. לכן בחרנו תמיד לקחת את החיובי מבין שני השורשים. בצורה הזו פעולת הוצאת השורש היתה חד-ערכית - לכל מספר התאמנו מספר יחיד, שהוא השורש שלו. למשל, ${\sqrt[{4}]{16}}=2$ , כשהאפשרות הנוספת היחידה היא $-2$ .

לעומת זאת, במספרים מרוכבים מתברר כי לפעולה של הוצאת שורש מסדר $n$ יש בדיוק $n$ פתרונות אפשריים כאשר אנו מוציאים שורש למספר השונה מאפס. למשל, ל- ${\sqrt[{4}]{16}}$ יש 4 תוצאות שונות אפשריות: $2,-2,2i,-2i$ .

מציאת הפתרונות עצמם אינה מסובכת כאשר אנו מכירים את משפט דה-מואבר. נטפל במקרה הכללי:

נניח כי אנו רוצים למצוא את ${\sqrt[{n}]{z}}$ . ניקח את $z$ בהצגה קוטבית: $z=r[\cos(\theta )+i\sin(\theta )]$ .

נניח שהמספר $w$ הוא אחד מהשורשים שאנו מחפשים ונציג גם אותו בצורה קוטבית:

$w=t[\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )]$ . כאן $t$ הוא הערך המוחלט של $w$ ואילו $\varphi$ הוא הארגומנט שלו - אנחנו פשוט בוחרים אותיות שונות מהרגיל כדי לסמן אותם.

אנחנו רוצים שיתקיים $w^{n}=z$ . אנחנו יודעים כי על-פי משפט דה-מואבר מתקיים:

$w^{n}=t^{n}[\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi )]$

שני מספרים מרוכבים שווים אם הערכים המוחלטים שלהם שווים, והארגומנטים שלהם שווים או נבדלים בזוית שהיא כפולה שלמה של 360 מעלות. לכן, בראש ובראשונה צריך להתקיים:

$t^{n}=r$

או במילים אחרות:

$t={\sqrt[{n}]{r}}$

כאשר השורש שאנחנו לוקחים כאן הוא במשמעות המקורית עבור מספרים ממשיים - אנו בוחרים את השורש הממשי החיובי מבין כל השורשים האפשריים. בצורה הזו אנחנו מבטיחים ש- $t$ יהיה מספר ממשי חיובי (כזכור, כל ערך מוחלט חייב להיות מספר ממשי חיובי).

כמו כן עבור הארגומנט צריך להתקיים:

$n\varphi =\theta +2\pi k$

זה דורש מספר הסברים. ראשית, $2\pi$ הם 360 מעלות כאשר זויות מסומנות ברדיאנים, וזוהי צורת הכתיבה המקובלת כאשר עוסקים במספרים מרוכבים. שנית, $k$ הוא מספר שלם כלשהו. כלומר, ההבדל בין שתי הזויות הוא כפולה שלמה של 360 מעלות, כנדרש.

נחלק את שני האגפים ב-$n$ ונקבל:

$\varphi ={\frac {\theta +2\pi k}{n}}$

לכאורה קיבלנו אינסוף ארגומנטים שונים אפשריים, אחד לכל ערך אפשרי של $k$ . בפועל, רבות מהזוויות שקיבלנו נבדלות בעצמן ב- $2\pi$ ולכן בסופו של דבר יהיה לנו מספר סופי של פתרונות.

כדי לראות זאת נניח כי ${\frac {\theta +2\pi k_{1}}{n}},{\frac {\theta +2\pi k_{2}}{n}}$ הם שני פתרונות שונים. נרצה לראות באיזה תנאים ההפרש ביניהם יהיה כפולה שלמה של $2\pi$ , ולכן נחסר אותם ונקבל:

${\frac {\theta +2\pi k_{1}}{n}}-{\frac {\theta +2\pi k_{2}}{n}}={\frac {2\pi (k_{1}-k_{2})}{n}}=2\pi \cdot {\frac {k_{1}-k_{2}}{n}}$

כלומר, שני הפתרונות ייבדלו זה מזה ב-$2\pi$ אם ההפרש בין $k_{1},k_{2}$ מתחלק ב- $n$ ללא שארית. אומרים במקרה זה כי $k_{1},k_{2}$ הם שקולים מודולו $n$ .

כל מספר שלם $k$ שקול מודולו $n$ לאחד מהמספרים שבין $0$ ועד $n-1$ : הוא שקול בדיוק למספר שהוא שארית החלוקה של $k$ ב- $n$ . קל לראות את זה אם נסמן את שארית החלוקה הזו בתור $r$ . היא תהיה בתחום הדרוש, ואחרי שנפחית אותה מ- $k$ הוא יתחלק ב- $n$ ללא שארית.

מכל זה נובע כי כשאנחנו מוצאים שורשים של מספר מרוכב כלשהו, די לנו לבחור בתור הארגומנט רק $k$ שבתחום $0\leq k\leq n-1$ .

כעת אנחנו יכולים לכתוב את הפתרון הכללי של הוצאת שורש מסדר $n$ :

למספר $z=r[\cos(\theta )+i\sin(\theta )]$ יש בדיוק $n$ שורשים שונים מסדר $n$ שנסמנם $z_{k}$ עבור $0\leq k\leq n-1$ והם:

$z_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left[\cos \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta +2\pi k}{n}}\right)\right]$

כעת אנו מסוגלים למצוא כל חזקה שהיא מספר רציונלי. לא ניכנס כאן למציאת חזקות שאינן מספרים רציונליים, אך נעיר כי מושג החזקה מוגדר באופן כללי גם כאשר החזקה היא מספר מרוכב כלשהו.

הרחבה

נשים לב כי הנוסחה הכללית שהגענו אליה לא חוסכת לנו את הצורך למצוא את השורש ה- $n$ של הערך המוחלט של המספר. יתכן שמתעוררת בכם השאלה כיצד עושים זאת. למשל, כיצד ניתן למצוא את ${\sqrt {2}}$ ? בפועל הדבר נעשה באמצעות מחשבון, איך כיצד המחשבון יודע לעשות זאת?

לא ניכנס כאן להסבר מדויק, אך נציין כי לרוב לא מוצאים את השורש בצורה מדויקת, אלא רק קירוב שלו שהוא מדויק בכל הספרות שהמחשבון מסוגל להציג (ולכן אין מרגישים בהבדל). ישנן מספר שיטות במתמטיקה שמאפשרות למצוא קירובים לשורשים. הפשוטה שבהם מתבססת על ניחושים שהולכים ומשתפרים. למשל, במקרה של שורש 2 ננחש שהפתרון נמצא בין 1 ו-2, כי $1^{2}=1<2$ ואילו $2^{2}=4>2$ . עכשיו נלך לנקודת האמצע שבין 1 ו-2: 1.5. נשים לב כי $1.5^{2}=2.25>2$ ולכן הפתרון נמצא בין 1 ו-1.5. עכשיו נעבור לבדוק את 1.25 וכן הלאה.

שיטה דומה אך מחוכמת מעט יותר נקראת "שיטת ניוטון-רפסון". גם היא מתבססת על ניחושים שהולכים ומשתפרים, אבל הבחירה של הניחוש היא מושכלת יותר מאשר בחירת אמצע הקטע בין שני הפתרונות הקודמים, ומתבססת על שימוש במושג הנגזרת של פונקציה מחשבון אינפיניטסימלי.

שיטה נוספת היא שימוש בטור טיילור, שגם הוא מושג בחשבון אינפיניטסימלי שמבוסס על מושג הנגזרת. בשיטה זו ניתן לקבל קירובים הולכים ומשתפרים לתוצאה שאנו מחפשים על ידי כך שנחבר אברים רבים יחד, וככל שנחבר יותר אברים כך נקבל תוצאה יותר מדויקת.