מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/ההיסטוריה של המספר המרוכב

לפני כ־500 שנה עסקו מתמטיקאים איטלקיים בבעיית המשוואה ממעלה שלישית. כפי שהאלגוריתם הטריוויאלי למציאת שורשי "משוואה ריבועית" היה ידוע, הם ניסו למצוא אלגוריתם למציאת שורשי "משוואה קובית".

כמה מאותם מתמטיקאים, הידועים בשמות לוקה פאצ'ולי, שיפיונה דל פרו, אנטוניו פיור, ניקולו פונטאנא (טארטאגליה), ג'ירולמו קארדאנו, לודוביקו פרארי, היו עורכים ביניהם תחרויות ידע פומביים בהתערבויות כספיות. רובם היו שומרים בסוד את פתרונותיהם כדי שיוכלו להביס את יריביהם בהתערבות. המפסידים היו נאלצים לעזוב את משרתם באוניברסיטה.

פאצ'ולי, כנראה עקב כמה נסיונות נפל, פרסם ספר בשנת 1494 ובו טען כי לא ניתן לפתור משוואות אלו בשיטות האלגבריות המוכרות.
הדבר דירבן את המתמטיקאי דל פרו כמה שנים מאוחר יותר למצוא פתרון למשוואות מסוג $x^{3}+ax=b$, שאותו שמר בסוד זמן מה עד שהפקידו בידי תלמידו פיור, שעשה בו שימוש בהתמודדות מול טארטאגליה (גמגמן). לתדהמתו, זה האחרון מצא פתרון לסוג המשוואות $x^{3}+ax^{2}=b$ כמו גם את פתרונו שלו והביס אותו.

עתה ניצב טארטאגליה מול מתחרה נוקשה יותר, קארדאנו, שלאחר מאמצים ושכנועים כבירים הצליח להוציא מטארטאגליה את פתרונו באמצעות שיר צופן, תוך שבועה שישמור סוד. בעזרת תלמידו פרארי הוא הרחיב את האפשרויות למשוואות מסוג $ax^{3}+bx^{2}+cx=d$ תוך הפיכתן למשוואה פשוטה יותר כשל טארטאגליה. תוך כדי כך, גילה פרארי פתרון אחר הקשור למשוואה ממעלה רביעית (קווארטית).

כשרצו השניים לפרסם זאת בספר משלהם, הם לא ידעו כיצד להפר את השבועה הסודית לטארטאגליה. ואז, בשיחה עם יורשו של דל פרו, דלה נאווה, התברר להם כי דל פרו אכן פתר בסוד את המשוואה הקובית לפני טארטאגליה, כך שהשבועה בטלה כביכול. הם פרסמו את הפתרונות בספר האומנות הגדולה. הם הסתכסכו עם הגמגמן הזועם, וזה לבסוף ערך תחרות עם פרארי, שהביסו בקלות.

ומה הקשר למרוכבים?
ברם, כשהרחיב קארדאנו את הפתרון לעיל, גילה לתדהמתו כי ישנן משוואות קוביות בהן השימוש בפתרונו מוביל לביטוי סתום של מספר שלילי תחת סימן שורש ריבועי.
היה זה אבסורד, שכן אין מספר ממשי שריבועו הוא מספר שלילי. גם כך, המספרים השליליים לא היו מוכרים בשימוש נרחב.

לפי המסופר, היתה זו המשוואה $x^{3}=15x+4$ שאת פתרונה הפשוט $x=4$ ניסה להפיק תוך שימוש באלגוריתם שלו.

התוצאה היתה, נשמו עמוק:

$x={\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}$

אך כיון שהוא ידע את פתרונה האמיתי הנ"ל, הוא הבין שיש לבצע פעולות באמצעות ה"קשקוש" שלפניו כדי להגיע לפתרון הרגיל - בדיוק כפי שיש שימוש למספרים שליליים לפתרון שורשים חיוביים במשוואה ריבועית וכדומה.

מתמטיקאי נוסף, רפאל בומבלי, עסק גם הוא בימיו של קארדאנו בבעיות אלו ותרם אף הוא תרומה משלו. שנים רבות נוספות חלפו עד שפותחה המתמטיקה אותה נלמד כאן.