מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/יחס, קצב ופרופורציה

מהו יחס?

יחס הוא השוואה בין שני גדלים

למשל, נניח שיש לנו שלושה תפוחים ירוקים (G) וארבעה תפוחים אדומים (R) בסל.

נוכל להשוות בין מספר התפוחים הירוקים בסל למספר התפוחים האדומים בסל על ידי חילוק.

איך כותבים יחס?

ישנן שלוש דרכים לכתוב יחס:

1. שימוש במילית הקישור ל.
   • למשל, היחס בין מספר התפוחים הירוקים בסל לבין מספר התפוחים האדומים בסל הוא 3 ל-4.
2. שימוש בסימן נקודותיים (:).
   • למשל, היחס בין מספר התפוחים הירוקים בסל לבין מספר התפוחים האדומים בסל הוא 3:4.
3. כתיבת היחס כשבר X/Y.
   • למשל, היחס בין מספר התפוחים הירוקים בסל לבין מספר התפוחים האדומים בסל הוא ${\frac {3}{4}}$.

הסדר חשוב

צריך לשים לב שכאשר אנחנו מדברים על יחסים, הסדר חשוב.

• יחס מספר התפוחים הירוקים בסל למספר התפוחים האדומים בסל הוא 3 ל-4.
• יחס מספר התפוחים האדומים בסל למספר התפוחים הירוקים בסל הוא 4 ל-3.

הסדר צריך להישמר.

• אם דיברנו על תפוחים ירוקים לפני תפוחים אדומים, אז המספר 3 צריך להופיע לפני המספר 4.
• הבעיה היא שלפני הוא דבר שונה בעברית ובמתמטיקה.
• בעברית לפני פרושו מימין
• במתמטיקה ובאנגלית לפני פרושו משמאל.
• בשבר לפני פרושו מעל

לכן:

• ירוק לאדום
• 3 ל- 4 (עברית)
• 3:4 (מתמטיקה)
• ${\frac {3}{4}}$ (שבר)

יחסים שקולים

יחסים שקולים הם יחסים שמבטאים את אותו היחס.

למשל, בשרשרת הבאה: OOO OOOO OOO OOOO

יש על כל 3 עיגולים ירוקים ו-4 עיגולים אדומים ולכן היא מבטאת יחס של 3:4 בין ירוקים לאדומים.

מצד שני יש בשרשרת 6 עיגולים ירוקים ו-8 עיגולים אדומים ולכן היא מבטאת יחס של 6:8 בין ירוקים לאדומים.

היחסים 3:4 ו- 6:8 הם יחסים שקולים.

נשים לב שהשרשרת הקטנה ביותר שניתן ליצור מעיגולים ביחס הזה היא השרשרת: OOO OOOO המבטאת את היחס 3:4. יחס זה הוא היחס המצומצם.

נוכל ליצור שרשרות ארוכה המכילה חזרות רבות של קטע שרשרת זה והיחס עדיין יישמר

3:4 - OOO OOOO

6:8 OOO OOOO OOO OOOO

9:12 OOO OOOO OOO OOOO OOO OOOO

12:16 OOO OOOO OOO OOOO OOO OOOO

איך מזהים יחסים שקולים?

שיטה 1:

נמצא מספר שאם נכפול או נחלק בו את שני רכיבי היחס נקבל את היחס השני.

למשל: היחסים 3:4 ו- 15:20 הם יחסים שקולים, מפני ש $15:20=3\cdot 5:4\cdot 5$

בשיטה זו אנו בעצם משווים שברים, שהרי ${\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}}$ מפני שהשבר ${\frac {15}{20}}$ הוא הרחבה של השבר ${\frac {3}{4}}$ שהושגה על ידי כפל המונה והמכנה פי 5.

שיטה 2:

נמצא מספר שאם נכפול או נחלק בו את הרכיב הראשון בכל אחד מהיחסים נקבל את הרכיב השני בכל אחד מהיחסים.

למשל היחסים 5:15 ו- 4:12 הם שקולים, מפני ש $4\cdot 3=12$ וגם $5\cdot 3=15$

שיטה 3:

כפל בהצלבה - נכפול בהצלבה את היחסים: רכיב ראשון מיחס א' עם רכיב שני ביחס ב' ורכיב שני מיחס א' עם רכיב ראשון ביחס ב'. אם קיבלנו את אותו המספר, אז היחסים שווים.

דוגמה א': היחסים 3:4 ו- 15:20 הם יחסים שקולים כי $3\cdot 20=60$ ו $15\cdot 4=60$

דוגמה ב': $4:12=5:15$ כי $4\cdot 15=60$ ו- $12\cdot 5=60$

צמצום יחסים

אפשר לצמצם יחסים כמו שמצמצמים שברים, על ידי כך שנמצא מספר ששני רכיבי היחס מתחלקים בו.

למשל, היחס 18:22 מתחלק ב-2, אבל לא באף מספר אחר. לכן היחס המצומצם השקול לו הוא 9:11.