מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט/אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שלבי פתרון משוואה עם ערך מוחלט אחד[עריכה]

אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד נפתר בהתאם לערכו של . עלינו להחליט לאיזה סעיף הוא מתאים:

  1. - נעזר בדרך פתרון מקרה א.
    • אם שלילי - אין פתרון
    • אם חיובי - נפתר מערך מוחלט באמצעות המשוואה
  2. - נעזר בדרך פתרון מקרה ב.
    • אם שלילי - כל (מפני שהערך המוחלט הופך כל מספר לחיובי)
    • אם חיובי - ניפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה או .
נסביר את הסעיף האחרון: אם היה לנו את המשואה אזהי כל הערכים הגדולים או שווים לאחדד מקיימים את המשוואה ומנגד, בגלל הערך המוחלט גם כל הערכים הקטנים ממינוס אחד.

מקרה א: [עריכה]

  1. אם שלילי, אז יש טעות במשוואה מאחר ונעלם בערך מוחלט אינו יכול להיות קטן ממספר שלילי, לפיכך אין פתרון לאי-שוויון זה.
  2. אם חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא
מדוע כולם מבינים. למה החליטו לתחום את הפתרון ב- פשוטה. נעזר בתרגיל שפתרונו . אם היה גדול אז המשוואה לא הייתה מתקיימת. נציב למשל ב- ונראה כי אינו אמת. זו הסיבה שבכל פעם בה אנו רואים ערך מוחלט קטן ממספר חיובי נתחום את פתרונו

גרף[עריכה]

אם נצייר גרף לדוגמא, נוכל לראות מתי אי-השוויון מתקיים:

Inequality5.PNG

מהגרף ניתן לראות כי ערכי עבורם מתקיים הנם

דוגמא[עריכה]

מצא לאילו ערכי אי-השוויון הבא מתקיים:

מאחר ו- גדול מהערך המחלט, וכן מאחר והוא מספר חיובי, נפתור לפי הפתרון שהצגנו לעיל בסעיף א' 2:

נפטר מהערך המוחלט

נפריד בין המשוואות

וגם

נפתור כל משוואה בפני עצמה

וגם

וגם

נאחד פתרונות של משוואה גם

וזהו הפתרון.

מקרה ב: [עריכה]

  1. אם שלילי, אז אי-השוויון תמיד גדול מ- כי ערך המוחלט מיצג מספר חיובי הגדול תמיד ממספר שלילי ולכן מתקיים עבור כל . בגרף אגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימני שלילי.
  2. אם חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא או .

יצוג בגרף[עריכה]

נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של נמצא מעל אגף ימין:

Inequality6.PNG

מהגרף ניתן לראות כי ערכי עבורם (מודגשים בקו שחור עבה) הנם

או

דוגמא[עריכה]

מצא לאילו ערכים של אי-השוויון הבא מתקיים:

מאחר ו- קטן מהערך המוחלט, נעזר בדרך פתרון מקרה ב. בנוסף בגלל שהוא חיובי נעזר באפשרות פתרונות באמצעות משוואת "או" כלומר סעיף ב 2.

או

או

או

וזהו הפתרון.