מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט/אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד

שלבי פתרון משוואה עם ערך מוחלט אחד

אי-שוויונות עם ערך מוחלט אחד נפתר בהתאם לערכו של $a$ . עלינו להחליט לאיזה סעיף הוא מתאים:

1. $|x|<a$ - נעזר בדרך פתרון מקרה א.
   • אם $a$ שלילי - אין פתרון
   • אם $a$ חיובי - נפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה $-a<x<a$
2. $|x|>a$ - נעזר בדרך פתרון מקרה ב.
   • אם $a$ שלילי - כל $x$ (מפני שהערך המוחלט הופך כל מספר לחיובי)
   • אם $a$ חיובי - ניפטר מערך מוחלט באמצעות המשוואה $x>a$ או $x<-a$.

נסביר את הסעיף האחרון: אם היה לנו את המשואה $|x|\ge 1$ אזהי כל הערכים הגדולים או שווים לאחדד מקיימים את המשוואה ומנגד, בגלל הערך המוחלט גם כל הערכים הקטנים ממינוס אחד.

מקרה א: $|x|<a$

1. אם $a$ שלילי, אז יש טעות במשוואה מאחר שנעלם בערך מוחלט אינו יכול להיות קטן ממספר שלילי, לפיכך אין פתרון לאי-שוויון זה.
2. אם $a$ חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא $-a<x<a$

מדוע $x<a$ כולם מבינים. למה החליטו לתחום את הפתרון ב-$-a<x$ פשוטה. נעזר בתרגיל $|x|<5$ שפתרונו $-5<x<5$. אם $-a$ היה גדול אז המשוואה $x<5$ לא הייתה מתקיימת. נציב למשל $-6$ ב-$x$ ונראה כי $|-6|<5$ אינו אמת. זו הסיבה שבכל פעם בה אנו רואים ערך מוחלט קטן ממספר חיובי נתחום את פתרונו

גרף

אם נצייר גרף לדוגמא, נוכל לראות מתי אי-השוויון מתקיים:

מהגרף ניתן לראות כי ערכי $x$ עבורם מתקיים $|x|<5$ הנם

$-5<x<5$

דוגמא

מצא לאילו ערכי $x$ אי-השוויון הבא מתקיים:

$|2x-3|<4$

מאחר ש- $a=4$ גדול מהערך המחלט, וכן מאחר שהוא מספר חיובי, נפתור לפי הפתרון שהצגנו לעיל בסעיף א' 2:

נפטר מהערך המוחלט

$-4<2x-3<4$

נפריד בין המשוואות

$-4<2x-3$ וגם $2x-3<4$

נפתור כל משוואה בפני עצמה

$-1<2x$ וגם $2x<7$

$x>-0.5$ וגם $x<3.5$

נאחד פתרונות של משוואה גם

$-0.5<x<3.5$

וזהו הפתרון.

מקרה ב: $|x|>a$

1. אם $a$ שלילי, אז אי-השוויון תמיד גדול מ- $a$ כי ערך המוחלט מיצג מספר חיובי הגדול תמיד ממספר שלילי ולכן מתקיים עבור כל $x$ . בגרף אגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימני שלילי.
2. אם $a$ חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא $x>a$ או $x<-a$ .

יצוג בגרף

נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון $|x|>5$ מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של $|x|$ נמצא מעל אגף ימין:

מהגרף ניתן לראות כי ערכי $x$ עבורם $|x|>5$ (מודגשים בקו שחור עבה) הנם

$x>5$ או $x<-5$

דוגמא

מצא לאילו ערכים של $x$ אי-השוויון הבא מתקיים:

$|4x-2|>12$

מאחר ש- $a$ קטן מהערך המוחלט, נעזר בדרך פתרון מקרה ב. בנוסף בגלל שהוא חיובי נעזר באפשרות פתרונות באמצעות משוואת "או" כלומר סעיף ב 2.

$4x-2>12$ או $4x-2<-12$

$4x>14$ או $4x<-10$

$x>3.5$ או $x<-2.5$

וזהו הפתרון.