משתמש:The duke/אלגברה ליניארית

תרגיל נסיון

האם A הפיכה מקיימת את המשוואה הבאה, והאם גם B נדרשת להיות הפיכה?: $AB-BA=0$

פתרון:

קודם כל

$AB=BA$

עובדה מס' 1. נשמור אותה בצד.

נבדוק האם A הפיכה מקיימת את המשוואה, בעזרת משחקי ביטול של מטריצות הפיכות:

$A^{-1}AB-A^{-1}BA=0$

$B-A^{-1}BA=0$

$B=A^{-1}BA$

בצירוף עובדה 1:

$B=A^{-1}AB$

$B=B$ אכן A הפיכה מאפשרת לזה להתקיים, לא נדרש כלום מB.

מה המשמעות של כפל מטריצות?

כפל מטריצות הוא מכפלה סקלארית של קבוצת וקטורים מול קבוצה אחרת.
כדי להבין מה זה אומר צריך להבין [#מה המשמעות של מכפלה סקלארית?|מה המשמעות של מכפלה סקלארית]. ואם מבינים מכפלה סקלארית, מבינים שכפל מטריצות הוא...

מה המשמעות של מכפלה סקלארית?

מכפלה סקלארית היא מכפלה בין וקטור B להיטל של וקטור A על וקטור B, כי מכפלה צריכה שהם יהיו באותו כיוון.
התוצאה היא סקלארית כי זה יכול להיות ההיטל של A על B או ההיטל של B על A או כל היטל של שניהם על מערכת צירים כלשהי, האורך של וקטור התוצאה יהיה באותו אורך - גודל המכפלה הסקלארית. לכן מכפלה סקלארית מוגדרת גם בA*B*cos(alpha), וגם כסכום מכפלות הרכיבים הסטנדרטיים a*a+b*b+c*c. כי המכפלה עם הקוסינוס היא בדיוק ההיטל (A*cos) כפול B. הסיפור של סכום מכפלות הרכיבים הוא שפירוק וקטור למרכיביו (על הצירים) שומר על כל המידע שנמצא בו. מדובר למעשה בהיטלים שלו על הצירים השונים. אז אם אנחנו מכפילים את ההיטלים האלו בהיטלים של וקטור אחר על אותם צירים, זוהי למעשה מכפלה של שני הוקטורים. למה מחברים אותם? (דורש בדיקה)