משתמש:Superot/ארגז חול/בניות בעזרת סרגל ומחוגה

הקדמה

בספר זה נעסוק בבניות בעזרת סרגל נטול שנתות (שנקרא גם "בעל שפה ישרה") ומחוגה. כמו הרבה ענפים במתמטיקה, גם את הבניות בעזרת סרגל ומחוגה התחילו היוונים הקדמונים.

בניות

• מתחילים מ-2 נקודות במישור, ומעבירים קו ישר ביניהן. נקרא לנק' O "ראשית הצירים", ולמרחק בין 0 ל-A נקרא "1".
  

• שימוש במחוגה: בהינתן 2 נקו' במישור, שמים את החוד בנק' אחת ואת העיפרון בשנייה - ויוצרים מעגל.

טענה

נתון: קו ישר ועליו 2 נק, ונק' B הנמצאת מחוץ לישר.
אזי (טענה):1. אפשר להעביר אנך לישר דרך הנקודה.
2. אפשר להעביר מקביל לאנך דרך הנקודה.
הוכחה: נתחיל מהנתון: 2 נקודות הנמצאות על אותו ישר, ונקודה הנמצאת במקום כלשהו מחוץ לישר:

שתי נק' על ישר, ונק' שלישית מחוץ לישר

נשים את חוד המחוגה על נק' A, ואת העיפרון בנק' B, ונשרטט קשת.

שרטוט קשת ראשונה

כעת, נשים את חוד המחוגה על נק' O, ואת העיפרון שוב בנק' B, ושוב נשרטט קשת.

שרטוט קשת שניה

לבסוף, נעביר ישר בין שתי נקודות המפגש של הקשתות.

נראה שאכן מדובר באנך: נחבר בעזרת ישרים נוספים את הנק' A ו- O עם הנק' B וכן עם נק' המפגש התחתונה של הקשתות. קיבלנו ארבעה ישרים משיקים (עם הקוראים הסליחה - בשרטוט הישרים לא יצאו מאוד משיקים. יתוקן בקרוב).

שרטוט ארבעה משיקים

.

נקרא לנק' המפגש התחתונה בין הקשתות D. נתבונן כעת בישרים AB ו- AD: משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה - לכן שווים. וכנ"ל לגבי הישרים OB ו- OD.
קיבלנו, לכן, שני משולשים שווי שוקיים המחוברים זה לזה בבסיסם (OA). מכאן, שהמרובע OBAD הוא דלתון. לבסוף, הישרים AO ו- DB הם אלכסוני הדלתון, וידוע שאלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה - ומכאן שהישר BD מאונך ל- AO.
עד כאן הראינו שניתן לבנות אנך העובר דרך הנקודה B. באותה צורה נוכל לבנות אנך לישר החדש BD (שכמובן יהיה מקביל לישר המקורי שלנו) - וסיימנו את ההוכחה.

המשך בניות

מותר לנו לצייר ישר ומעגלים, באופן הבא: ישרים העוברים דרך 2 נקודות שכבר בנינו. מעגלים - כאשר כל אחד מקצוות המחוגה נמצא בנק' שכבר בנינו.
בנינו כבר את הקטע $\left[0,1\right]$. כעת, נתקע את חוד המחוגה בנק' O , שהיא ראשית הצירים (כלומר הנק' $\left(0,0\right)$) ואת חוד המחוגה בנק' A, שהיא גם הנק' $\left(1,0\right)$, ונשרטט באמצעותה את מעגל היחידה. עכשיו נוכל, למשל, לשים את החוד של המחוגה בנק' $\left(0,1\right)$ ואת העיפרון בנק' $\left(-1,0\right)$, ונקבל מעגל.
הגדרה: 1. נקודה שניתנת לבנייה היא נקודה המתקבלת מחיתוך של: 2 ישרים, מעגל וישר או שני מעגלים המותרים לבנייה.
2. נחשוב על מערכת הצירים כעל המישור המרוכב. מס' מרוכב ייקרא ניתן לבנייה אם הנק $\ \left(x,y\right)$ ניתנת לבנייה.
נסמן: $\ k_{R}=\left\{x|\exists point\ \left(x,y\right)\wedge \left(z,x\right)\right\}$, כלומר X היא קואורדינטה של נק' הניתנת לבנייה.

כעת: יש לנו קטע באורך 1. אנו יודעים, בעזרת סרגל ומחוגה, להעתיק אותו שוב על הישר - לכן, נוכל לבנות כל שלם ב- $\ \mathbb {Z}$.

נתבונן כעת בשרטוט הבא:
נתון לנו משולש, שקודקודיו הם $\ O,B,z+1$ הבנוי על קוטר של מעגל. זוית $\ B$ היא זוית ישרה (נשענת על הקוטר), וממנה אנו מורידים אנך לנק' 1.
נתבונן במשולשים הקטנים: .
קל לראות שהם דומים, לכן מתקיים: $\ {\frac {1}{s}}={\frac {s}{z}}$ $\ \ z=s^{2}\ \Leftarrow$ $\ s={\sqrt {z}}\ \Leftarrow$. כלומר, עבור כל מספר שלם, נוכל לבנות את השורש שלו.

משפט

$k_{R}$ הוא שדה.