משתמש:Aswiki66/טיוטה

על פי משפט פיתגורס: במשולש ישר-זוית בעל שני ניצבים a ו-b שווה היתר c: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

הוכחת משפט פיתגורס

תארו לעצמכם ריבוע קטן בתוך ריבוע גדול. הריבוע הקטן מוטה כך שכל קודקודיו נוגעים בצלעות הריבוע הגדול.

(ראו תמונה)

אנו נוכיח שהמשולשים שנוצרו חופפים, וידוע לנו שהם ישרי-זויות. אנו נציב את ערכי הניצבים כ- $a$ ו- $b$ , ואת ערך היתר $c$ . בסוף נגיע ע"י אלגברה לביטוי $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ .

נוכיח שהמשולשים החיצוניים שנוצרו חופפים: ניקח את אחת מנק החיבור. אנו יודעים שהזוית האמצעית שווה לתשעים מעלות כי היא זוית של הריבוע הקטן. נסמן ב- $\alpha$ את הזוית מצד אחד של הזוית האמצעית. לאחר חישוב מהיר נגיע לכך שהזוית מהצד השני שווה $90^{\circ }-\alpha$

$\beta =180^{\circ }-90^{\circ }-\alpha =90^{\circ }-\alpha$

נסתכל על המשולש שבתוכו נמצאת הזוית האחרונה שמצאנו, $90^{\circ }-\alpha$

אנו יודעים שהזוית של הריבוע הגדול שווה 90° מעלות, ובחישוב מהיר נוסף נגיע לכך שהזוית השלישית במשולש זה שווה $\alpha$ .

$\gamma =180^{\circ }-90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha$ אנו יודעים שהזוית הצמודה לזוית זו שווה תשעים מעלות גם כן (זוית של הריבוע הקטן).

ניתן לחזור על הפעולות לעיל עד שמוכיחים שכל המשלושים חופפים, מכיון שאנו יודעים בכל משולש את ערך שני זויות וצלע שביניהן (צלע הריבוע הקטן).

נסמן במשולשים את הניצבים באותיות $a$ ו- $b$ , ואת צלע הריבוע הקטן בתור $c$ . ניתן לראות בתמונה למעלה איך זה נראה.

כעת, צלע הריבוע הגדול שווה $a+b$ וצלע הריבוע הקטן היא $c$ .

נחשב מספר שטחים שניתן למצוא:
שטח כל משולש $S_{1}=\left({\frac {ab}{2}}\right)$

שטח הריבוע הגדול $S_{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

שטח הריבוע הקטן $S_{3}=c^{2}$

נחבר את שטחי כל המשולשים: $4S_{1}=4\left({\frac {ab}{2}}\right)=2ab$

ערך זה נמצא גם במשוואה של $S_{2}$ .

נחזור לשרטוט. אם נחסיר את שטחי המשולשים מהריבוע הגדול, ע"פ השרטוט, נקבל את שטח הריבוע הקטן. לכן, נחסיר את שטח סה"כ המשולשים משטח הריבוע הגדול:

$S_{4}=a^{2}+2ab+b^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}$ . מקודם הגענו למסקנה שהביטוי שמתקבל פה, שווה לשטח הריבוע הקטן, שהוא $S_{3}=c^{2}$

לכן נשווה: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ . מש"ל.

הוכחה נוספת למשפט, באמצעות מעגל חסום במשולש ישר זווית

ניתן להוכיח את משפט פיתגורס גם באמצעות שימוש במעגל החסום במשולש ישר זווית.

נתון משולש ישר זווית ABC (הצלעות AC ו־BC הן ניצבי המשולש, AB הוא היתר). אורך הצלע BC הוא a, אורך הצלע AC הוא b, ואורך הצלע AB הוא c. בתוך המשולש חסום מעגל שאורך רדיוסו הוא $\rho \,$.

מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזוויות של המשולש. חוצי הזוויות של המשולש מחלקים אותו במפגשם לשלושה משולשים – BMC, AMC ו-AMB. את שטחו של כל אחד ממשולשים אלו ניתן לחשב על ידי הכפלת רדיוס המעגל החסום בצלע המתאימה מהמשולש המקורי וחלוקת המכפלה ב־2, שכן צלעות המשולש משיקות למעגל, ולפיכך לכל אחת מאונך רדיוס, ועל כן כל אחד מהם נחשב לגובה במשולש שלו. על פי האמור בפסקה הקודמת, שטח המשולש האדום (BMC) שווה ל-${\rho \cdot {\tfrac {a}{2}}}$, שטח המשולש הירוק (AMC) שווה ל-${\rho \cdot {\tfrac {b}{2}}}$, ושטח המשולש הכחול (AMB) שווה ל-${\rho \cdot {\tfrac {c}{2}}}$. שטח המשולש המקורי (ABC) שווה לסכום שטחי שלושת המשולשים, ועל כן שטחו שווה ל-${\rho \cdot {\tfrac {a}{2}}}+{\rho \cdot {\tfrac {b}{2}}}+{\rho \cdot {\tfrac {c}{2}}}$ . את הביטוי הזה ניתן לקצר לביטוי הבא: ${\rho \cdot {\tfrac {a+b+c}{2}}}$ . שטח משולש ישר זווית ניתן לחישוב גם על ידי הכפלת אורכי הניצבים וחלוקת המכפלה ב-2, כלומר שטח המשולש שווה גם ל-${\tfrac {ab}{2}}$.
כעת, נשווה בין ביטויים אלו, כדי לקבל את אורך הרדיוס:
${\rho \cdot {\tfrac {a+b+c}{2}}={\tfrac {ab}{2}}/\cdot 2}$.
${\rho \cdot (a+b+c)=ab/:p}$.
${\rho ={\tfrac {a+b+c}{ab}}}$

את אורך הרדיוס ניתן להציג גם באופן אחר, על סמך הסימונים המקוריים, כך: הרדיוסים המאונכים לניצבים AC ו-BC יוצרים ריבוע לכן, הקטע שעל הצלע AC בין הקודקוד C לבין נקודת ההשקה למעגל שווה לרדיוס. לפיכך, שארית הקטע AC שווה ל-${b-p}$. כיוון שהמרובע ההוא הוא ריבוע, גם הקטע שעל הצלע BC בין הקודקוד C לנקודת ההשקה שווה לרדיוס, ולפיכך שארית הקטע BC שווה ל-${a-p}$ (ראו בתמונה בצד).
שני משיקים למעגל היוצאים מאותה הנקודה שווים זה לזה, לכן הקטעים היוצאים מהקודקוד A עד לנקודות ההשקה (נקודה אחת על היתר AB ונקודה אחת על הניצב AC) שווים. הקטע שעל הניצב AC שווה כאמור ל-${b-p}$, ועל כן גם הקטע השני שווה לכך.
אותו הדבר גם בקודקוד B: שני משיקים היוצאים מאותה הנקודה שווים זה לזה, לכן הקטע בין B לנקודת ההשקה שעל הצלע BC והקטע בין B לנקודת ההשקה שעל הצלע AB שווים. הקטע שעל הניצב BC שווה כאמור ל-${a-p}$, לכן גם הקטע שעל היתר AB שווה לאורך זה. שני הקטעים שמצאנו כעת את אורכיהם מרכיבים ביחד את היתר, כמתואר בתמונה, ועל כן ניתן להסיק כי $c=(a-\rho )+(b-\rho )$.
גם מביטוי זה ניתן למצוא את אורך הרדיוס, כך: $c=(a-\rho )+(b-\rho )$
$c=a+b-2\rho /+2\rho -c$
$2\rho =a+b-c/:2$
$\rho ={\tfrac {a+b-c}{2}}$

כעת, ניתן להשוות בין אורכי הרדיוס שהתקבלו. ${\rho \cdot {\tfrac {a}{2}}}$

${\rho \cdot {\tfrac {b}{2}}}$

${\rho \cdot {\tfrac {c}{2}}}$

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: משפט פיתגורס

תמונות ומדיה בוויקישיתוף: משפט פיתגורס