משתמש:טוקיוני/על דרך הניסוי/ארכימדס, חוק הציפה והסטטיקה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

ארכימדס[עריכה]

ציור של ארכימדס שנעשה בשנת 1620על ידי הצייר האיטלקי דומניקו פטי

במאה ה-3 לפנה"ס, בעיר סירקוס שבאי סיציליה חי מי שנחשב היום לאחד המוחות החריפים ביותר בכל הזמנים, ארכימדס. הרבה אגדות נקשרו לשמו של האיש הזה, רובם כנראה אינן נכונות. מסופר עליו שבאחד הימים מלך סירקוז הזמין מצורף כתר זהב חדש. כשהכתר הגיע, המלך החל לחשוד שהצרף רימה אותו ושהכתר איננו עשוי מזהב טהור. הוא פנה לארכימדס וביקש ממנו למצוא דרך לבדוק את הנושא. האגדה ממשיכה לספר שארכימדס שקע כל כולו לתוך הבעיה והמשיך לחשוב עליה גם כאשר הכריחו אותו לקחת מקלחת. אלא שכאשר הוא נכנס לאמבטיה וראה את מפלס המים עולה הפתרון נגלה לעיניו. מאושר מהתגלית הוא קפץ החוצה מהאמבטיה והחל לרוץ ערום ברחובות סירקוז ולצעוק: 'אוריקה, אוריקה' - 'מצאתי מצאתי'. הרעיון של ארכימדס, על פי החידה, היה כדלקמן: נכניס את הכתר לתוך מיכל מלא במים. כתוצאה מכך יישפכו החוצה מתוך המכל כמות מים שנפחה שווה בדיוק לנפח של הכתר. באופן הזה אפשר למדוד את הנפח של הכתר. עכשיו נשקול את הכתר ונחלק את המשקל של הכתר בנפח, וכך נקבל את המשקל ליחידת נפח, מה שאנחנו קוראים לו היום 'משקל סגולי'. המשקל הסגולי צריך להיות שווה למשקל הסגולי של זהב (19320 kg/m^3), לרוע מזלו של הצורף השיטה אכן עבדה והתגלה שהכתר לא היה עשוי מזהב טהור אלא מסגסוגת.

זאת אחת האגדות המפורסמות ביותר בהיסטוריה של המדע, והיא הכניסה את המילה 'אוריקה' לאוצר המילים של כל שפה ושפה (אפילו נכתבה סדרת טלויזיה סביב המילה הזאת), אלא שככל הנראה האגדה איננה נכונה. האגדה מופיעה לראשונה בספרות רק בכתביו של __ כ __ שנה לאחר ארכימדס, והיא מכילה כמה גרעינים של אמת: ארכימדס באמת חקר גופים שמכניסים אותם למים, וארכימדס כנראה באמת היה טיפוס של מדען משוגע, שכאשר הוא היה חושב על חידה הוא היה מתחבט בה ימים ולילות, שוכח לאכול או לישון, וכאשר היו מכריחים אותו להתקלח, הוא היה משרטט עם הסבון על גופו שרטוטים של הבעיה. מצד שני קשה להאמין שבעיה כל כך פשוטה, של מדידת משקל סגולי, יכלה להטריד אותו כל כך, שכן הוא התעסק עם בעיות סבוכות ומורכבות הרבה יותר.

ארכימדס חי זמן לא רב לאחר אוקלידס המחבר של הספר היסודות. יצירה זאת נחשבת לשיא הפאר של המתמטיקה היוונית, כיוון שבה אוקליד הצליח לסדר את כמות עצומה של ידע בגאומטריה, באופן דדקוטיבי, כלומר באופן שבו כל משפט מוכח על בסיס המשפטים שקדמו לו, וכל המשפטים כולם מבוססים על 5 הנחות יסוד בלבד, 5 אקסיומות. כך לדוגמא אוקלידס מצליח להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180 מעלות, וגם את משפט פיתגורס, משפט הקובע שבמשולש ישר זוית, סכום הריבועים של הניצבים שווה לאורכו של היתר (אם נביט באיור המשפט קובע שסכום השטחים של הריבועים הכחול והירוק שווה לשטח הריבוע האדום a^2+b^2=c^2). אלא שארכימדס התעסק עם בעיות מסובכות בהרבה. ארכימדס ניסה והצליח לחשב שטחים של עקומות כמו פרבולה והיפרבולה. השיטה שהוא המציא לצורך כך, שיטה שבה הוא מחשב שטחים שהולכים ומתקרבים לשטח הצורה הרצויה היתה הבסיס לחשבון האינפינטיסמלי שניוטון ולייבניץ עתידים לפתח כמעט 2000 שנים מאוחר יותר. ארכימדס גם השתמש בכלים מתמטיים כדי לפתור בעיות מהחיים, הוא פיתח את תורת המנופים, ומספרים שבעזרתה הוא הצליח לבנות מנופים שאיפשרו לו בכוחות עצמו למשות ספינות מהים. נושא נוסף שעניין אותו הוא להשתמש בהיגיון המתמטי כדי להבין איך גופים צפים, איך עובדות אוניות? אז איך באמת עובדות אוניות?

ניסוי מחשבה[עריכה]

בשביל להבין איך אוניות שטות, נשתמש בשיטה הנקראת 'ניסוי מחשבה'. נתחיל בכך שנביט על כוס מים המונחת על גבי שולחן. המים בכוס, לפחות במבט ראשון נראים במנוחה. מכיוון שהם במנוחה אנחנו יכול להסיק שלא פועלים עליהם כוחות, כי כוח הוא דבר שגורם לדברים להתחיל לזוז, לצאת ממנוחה. אפשרות אחרת היא שפועלים עליהם כוחות אבל הכוחות מבטלים אחד את השני. לדוגמא כשאנחנו עומדים על הקרקע אנחנו יודעים שפועל עלינו כח שדוחף אותנו כלפי מטה, כח המשיכה של כדור הארץ. הסיבה שאנחנו לא נופלים למטה היא שהקרקע גם היא מפעילה עלינו כוח, היא דוחפת אותנו חזרה בכיוון ההפוך. מסתבר שלשני הכוחות האלו יש בדיוק אותה עוצמה ולכן הם מבטלים אחד את השני, מה שמאפשר לנו לעמוד על הקרקע, כאילו לא פועל עלינו אף כוח. לעומת עצמים שנמצאים באוויר, כמו צנחן שקפץ ממטוס, מכיוון שאין להם קרקע שתדחוף אותם כלפי מעלה, אין שום כוח שמאזן את המשיכה של כדור הארץ ולכן הם נופלים.

בוא נחזור אל כוס המים. כוס המים כולה לא נופלת למרות כח המשיכה מכיוון שהשולחן דוחף אותה כלפי מעלה, בדיוק כמו שהרצפה דוחפת אותנו כלפי מעלה. אבל בוא נסתכל עכשיו פנימה לתוך המים על טיפת מים אחת. כמו הכוס כולה גם הטיפה שאנחנו מביטים עליה עומדת במקום ולכן גם עליה כל הכוחות שפועלים מבטלים אחד את השני. אבל אילו כוחות פועלים על הטיפה, הרי היא לא באה במגע עם השולחן? ובכן המים עצמם מפעילים כוחות על הטיפה, שנקראים 'לחץ'. צוללנים מכירים את המושג של לחץ של מים טוב מאוד כי כאשר יורדים לעומקים גדולים הלחץ של המים נהיה גדול יותר ויותר. בעומקים מאוד מאוד גדולים הלחץ של המים נהיה כל כך גדול שצוללות לא יכולות לשוט שם מכיוון שהלחץ יעוות להם את גוף הצוללת. אבל נסחף קצת לדברים שנדבר עליהם עוד מאט, ולכן בואו נחזור חזרה אל הטיפה.

הטיפה נמצאת במים ולכן פועל עליה לחץ של המים, כוח שפועל עליה מכל הכיוונים, אבל מתוך זה שהטיפה לא נופלת למטה אנחנו מיד יכולים להסיק שהלחץ שהמים מפעילים מלמטה גדול יותר מהלחץ שפועל עליה מלמעלה. כמה גדול יותר? גדול יותר בדיוק באופן שמספיק כדי לאזן את כח המשיכה של כדור הארץ!

עד עכשיו נראה כאילו לא עשינו כלום, כיוון שהסברנו תופעה שלרוב האנשים נראית מובנת מאליה, אבל עכשיו נראה כמה רחוק קו המחשבה הזה יכול להביא אותנו.

מה יקרה, חשב לעצמו ארכימדס, אם נשים כדור בתוך המים? כלומר נחליף את כדור המים הדימיוני שלנו בכדור אמיתי מחומר כלשהוא שאיננו מים? ובכן הכוחות הפועלים על הכדור דומים למקרה הקודם: פועל עליו כוח הכבידה שמושך אותו כלפי מטה, ופועל עליו הלחץ של המים. אלא שהלחץ שהמים מפעילים הוא בדיוק זהה למקודם כלומר הוא מהווה כח שדוחף כלפי מעלה במשקל ששוה למשקל כדור המים שהוצאנו. לעומת זאת כוח הכבידה עכשיו הוא שונה, והוא שווה למשקל הכדור שהכנסנו. מכאן מיד אנחנו רואים שאם הכדור שוקל יותר מכדור מים אזי הכדור ישקע. עם הוא שוקל פחות אזי יפעל עליו כוח כלפי מעלה. מבלי שום הנחות נוספות גילינו את חוק הציפה הקרוי על שמו של ארכימדס שמנוסח כך:

"גוף הנמצא בתוך מים ירגיש כוח כולל עליו ששווה להפרש בין המשקל שלו לבין משקל המים שאותו גוף מחליף"

באיור ? ניתן לראות ספינה ששטה במים. מכך שהיא לא שוקעת אנחנו מיד יכולים להסיק שהמשקל הסגולי של הספינה הוא קטן יותר מהמשקל הסגולי של המים, אבל איך זה יכול להיות? ספינות מודרניות עשויות מברזל ומפלדה והחומרים האלה שוקלים הרבה יותר ממים, איך ספינות העשויות מחומרים אלו יכולות לצוף? ובכן נכון שהספינה בנויה מהרבה חלקים העשוים ברזל, אך יש בספינה גם הרבה אוויר, ששוקל הרבה פחות ממים.