משתמש:גיל בכר/ארגז חול פיזיקה

הקדמה

בשנת 1899 נשא הלורד קלווין נאום מפורסם בו קבע כי בפני הפיזיקה נותרו רק שתי בעיות פתוחות:

הסבר לניסוי מיקלסון-מורלי אשר הראה כי לאור מהירות קבועה בריק.
הסבר לניסוי פליטת קרינה מגוף שחור (אשר יתור בהמשך).

במהלך המאה העשרים עלו פתרונות פיזיקליים לשתי בעיות אלו, בדמות שתי תורות פיזיקליות חדשות. את ניסוי מיקלסון מורלי הסבירה תורת היחסות הפרטית, ואילו את קרית הגוף השחור הסבירה תורת הקוונטים.
התפתחותה של תורת הקוונטים לא קרתה ביום אחד והובלה ע"י סידרה של ניסויים מקדימים המכונים לעיתים "תורת הקוונטים הישנה". ניסויים ומודלים אלו היוו כל אחד בתורו הסבר לבעיה פיזיקלית בודדה, לרב ע"י פיתרון אד-הוק שניתן לה, כלומר מתן מודל ספציפי אשר מסביר את הבעייה ופתרונה. המשותף לכל הניסויים היה שימוש בפיזיקה קלסית תוך תוספת של הנחה "קוונטית" כלשהי במהלך הניסוי, כלומר הרחבה קטנה של התורה הקלסית ע"י הנחה בודדת על כמותיות של גורם מסוים.
על אף שכל ניסוי מהווה רק חלק קטן מהפאזל ואינו מהווה תורה שלמה, אין לזלזל בהם, שכן הם היוו התקדמות הכרחית בדרך לבניית התורה המלאה. כהוכחה לכך, כמעט על כל אחד מהניסויים ניתן פרס נובל לפיזיקה.
הניסויים והמודלים אותם נסקור והשנים בהם ניתן להם הסבר:

קרינת גוף שחור, 1899 (זיכה את מקס פלאנק בפרס נובל לשנת 1918). המודל מראה כי אנרגיה מגיעה במנות בדידות.
האפקט הפוטואלקטרי, 1905 (זיכה את איינשטיין בפרס נובל לשנת 1922). המודל מראה כי האור מגיע במנות בדידות.
מודל האטום של נילס בוהר, 1913 (זיכה את נילס בוהר בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1922). המודל מראה כי תנע זויתי של אלקטרונים באטום המימן מגיע במנות בדידות.
פיזור קומפטון, 1922 (זיכה את ארתור קומפטון בפרס נובל לשנת 1927). המודל מחזק את הנחת איינשטיין ומראה תכונה חלקיקית נוספת של האור.
השערת דה ברולי, 1924 (זיכתה את לואי דה ברולי בפרס נובל לשנת 1929). המודל קובע כי אלקטרון חופשי הוא גם חלקיק וגם גל וקובע קשר בין אורך הגל (תכונה גלית), המסה והתנע (תכונות חלקיקיות) שלו, ובין התדר (תכונה גלית) והאנרגיה הקינטית שלו (תכונה חלקיקית).

הניסויים הללו יתוארו להלן, באופן שיראה כיצד הם מכוונים לעבר תורת הקוונטים השלמה. ראוי לציין שבתקופה שבה נערכו, היה כל ניסוי שכזה מהפכני ביותר ואף תוצאותיו היו לעיתים שנויות במחלוקת. כיוון שתוצאותיו של כל ניסוי לא חשובה להבנת התורת הקוונטים יכול הקורא לדלג על חלקם או כולם (אם כי הבנתם יכולה לעזור ביצירת הבנה פיזיקלית גדולה יותר). המסקנה הסופית החשובה ביותר היא כי בתחילת המאה הקודמת החלו להצטבר אוסף רב של ארועים בהם נראה קשר ברור בין תופעות שנחשבו "גלים" לתופעות שנחשבו "חלקיקים" עד אז, ונדרשת תורה שלמה המקשרת בין התחומים.

ידע מוקדם הדרוש להבנת פרק זה

פרק זה הוא ברובו היסטורי ואינו דורש ידע מתמטי מורחב כפי שדורשת למידת מכניקת הקוונטים כולה. עם זאת דרוש ידע בפיסיקה קלאסית ובמיוחד בתחום החשמל והמגנטיות, על מנת להבין את הקשיים בהם נתקלנו המדענים בתחילת המאה העשרים, ואת הפתרונות אותם הציעו.

קרינת גוף שחור

האפקט הפוטואלקטרי

תיאור הניסוי

בשנת 1887 גילה היינריך הרץ כי כאשר מקרינים מתכת באור אולטרא-סגול, האוויר שמסביבה נטען במטען שלילי. בהמשך המשיכו חוקרים ובראשם פיליפ לנארד וג'וזף ג'ון תומסון לחקור את התופעה אשר כונתה האפקט הפוטואלקטרי. הם גילו כי:

עבור כל מתכת קיימת תדירות סף, אשר אור בעל תדירות נמוכה יותר בכל עוצמה לא יגרום לפליטת אלקטרונים ממנה.
מספר האלקטרונים הנפלטים מהמתכת תלוי בעוצמת האור, אך לא כן מהירותם.
מהירות האלקטרונים הנפלטים גדלה עם תדירות האור הפוגע.
פליטת האלקטרונים היא מיידית (מרגע הדלקת האור) ואין השהיה, גם כאשר עוצמת האור נמוכה.

הסתירה על התורה הקלסית

קיום האלקטרון כבר היה ידוע באותו זמן, וכמו כן ניתן היה להניח ע"פ התורה הקלסית, כי האנרגיה של גל אלקטרומגנטי יכולה לשחרר אלקטרון מהקשר שלו עם המתכת. עם זאת את הגילויים הרשומים לא היה ניתן להסביר באמצעות התאוריה הגלית של האור, הנובעת ממשוואות מקסוול. הסתירות הן:

ע"פ התורה הקלסית, אין קשר בין האנרגיה לתדירות. בכל תדירות תועבר בסופו של דבר אנרגייה למתכת בכדי לשחרר אלקטרון.
ע"פ התורה הקלסית, ככל שעולה עוצמת האור כך גדלה כמות האנרגיה המוזרמת לאלקטרונים ולכן באופן הסתברותי צריכים להיות אלקטרונים שמקבלים אנרגייה קינטית רבה ומהירות גדולה.
ע"פ התורה הקלסית, שוב אין קשר בין תדירות לאנרגייה ולמהירות.
ע"פ התורה הקלסית האנרגיה מהגל האלקטרו-מגנטי תיקלט בכל גוש המתכת בו זמנית ורק אחריי שיעבור זמן מה תהיה מספיק אנרגיה לאלקטרונים במתכת בכדי להשתחרר ממנה.

ההסבר של איינשטיין

את ההסבר לתופעות אלה נתן כאמור אלברט איינשטיין בשנת 1905. הוא השתמש בהנחה אותה הציע מקס פלנק על מנת להסביר את אופי הקרינה של גוף שחור, על פיה האור מגיע במנות מסוימות של אנרגיה (קוואנט) הפרופורציונאלית לתדירות $\ f$ של האור:

\ E_{ph}=hf

(כאשר $\ h$ מסמן את אותו קבוע אשר קבע פלאנק.

איינשטיין לקח רעיון זה צעד אחד קדימה, והציע שמדובר ביותר מאשר כמויות אנרגיה, ושבכל הנוגע לאפקט הפוטואלקטרי יש להסתכל על האור כעל אוסף חלקיקים (פוטונים), אשר לכל אחד מהם אנרגיה, כאמור בהנחה של פלאנק. השערה זו מניחה שבעת פגיעת פוטון במתכת, נעלם הפוטון ומועברת כל האנרגיה שלו לאחד האלקטרונים במתכת. האנרגיה הדרושה עבור האלקטרון על מנת להיפלט מהמתכת משתנה מאלקטרון אחד לשני, אולם עבור כל מתכת קיימת אנרגיה מינימלית הקרויה "פונקציית העבודה" $\ W$ . לכן, אלקטרונים יכולים להיפלט מהמתכת רק כאשר האנרגיה של כל פוטון גדולה מפונקציית העבודה. במקרה כזה, שארית האנרגיה הופכת לאנרגיה הקינטית של האלקטרון:

\ E_{k}\leq hf-W

בעזרת התאוריה הזו הוסברו כל הקשיים שלא היו ניתנים להסבר על ידי הסתכלות על האור כעל גל בלבד:

כאשר $\ hf<W$ , אין לפוטון אנרגיה מספיקה להוצאת אלקטרון מהמתכת. זה המקור לתדירות הסף שנמצאה עבור המתכת.
הגדלת עוצמת האור משנה רק את מספר הפוטונים, אך לא את האנרגיה של כל אחד מהם. לכן היא מגדילה את מספר האלקטרונים הנפלטים, אבל לא משפיעה על האנרגיה הקינטית של כל אחד מהם.
כאשר תדירות האור גדלה, האנרגיה של כל אחד מהפוטונים גדלה גם היא, ולכן גדלה האנרגיה הקינטית של האלקטרון הנפלט.
קצב הפליטה נקבע על ידי האינטראקציה של הפוטון עם האלקטרון. למרות שהקצב הממוצע של מעבר האנרגיה למתכת מאוד נמוך, האנרגיה אינה מתחלקת בין כל האלקטרונים, אלא מוענקת רק לחלק קטן מהם, אלה בהם פוגעים הפוטונים. לכן מן שבו מגיע הפוטון הראשון למתכת הוא נבלע ומעביר את האנרגייה שלו לאלקטון והפליטה תחל מיידית.

מודל אטום המימן של נילס בוהר

התפתחות מודל האטום

מודל עוגת הצימוקים

האטום נחשב משך שנים כבלתי ניתן לחלוקה (ומכאן שמו, ביוונית). בשנת 1897 גילה ג' ג' תומסון את האלקטרון כחלק של האטום (ועל כך זכה בפרס נובל לפיסיקה בשנת 1906). נדרש איפו הסבר למיקומו של האלקטרון בתוך האטום. כיוון שידוע היה שאטומים הם בדרך כלל בעלי ניטרליות חשמלית, הרי שמתחייב שקיים בהם מטען חיובי באותה כמות שבה קיים מטען שלילי.
תומסון הציע את מודל עוגת הצימוקים. המודל מדמה את האטום לעוגת צימוקים - מטען חשמלי חיובי מרוח בצורה הומוגנית על פני עיקר האטום, שהוא כדור צפיד (כמו במודל של ג'ון דלטון), ועל פני כדור חיובי זה מפוזרים האלקטרונים, שהם חלקיקי מטען שלילי נקודתיים - כמו צימוקים בעוגה.

המודל הפלנטרי

בשנת 1909 ערכו הנס גייגר וארנסט מרסדן בהדרכתו של ארנסט רתרפורד במעבדות הפיזיקה של אוניברסיטת מנצ'סטר, ניסוי שבו הופגזו עלי זהב דקים בחלקיקי אלפא (הליום מיונן), אשר נודה בשם ניסוי רתרפורד. פרטי הניסוי והסברם נופלים כולם בתחום הפיזיקה הקלסית ונלמדים במסגרת הקורס במכניקה אנליטית, ולכן לא נפרטם פה. עם זאת נציין את התוצאות והמסקנות: ע"פ מודל עוגת הצימוקים, היו צריכים לעבור החלקיקים דרך עלה הזהב ללא הפרעה. עם זאת, אחד מכל כמה אלפים של חלקיקים הוסטו ביותר מ-90 מעלות. הסבר יחיד אשר יכל לתת מענה לתוצאה זאת הוא כי המטען החיובי מרוכז במרכז האטום. המודל החדש, אותו הציע רתרפורד בשנת 1911, כונה המודל הפלנטרי ועל פיו מבנה האטום הוא גרעין חיובי קטן אותו מקיפים אלקטרונים, בדומה לאופן שבו מקיפות הפלנטות במערכת השמש את השמש.

כבר עם הצעתו של המודל הפלנטרי היה ברור כי יש בו בעייה מרכזית, והיא חוסר תאימותו לכל הידוע על אלקטרומגנטיות. על פי התורה הקלסית לאלקטרו מגנטיות, גוף נושא מטען הנמצא התאוצה (תנועה מעגלית היא תנועה בתאוצה רדיאלית) פולט קרינה אלקטרו מגנטית ובכך מאבד אנרגיה.

כשלון המודל הפלנטרי

כדי לנתח את המודל המבוסס על פיסיקה קלסית, משתמשים בידוע ממכניקה ניוטונית ומאלקטרומגנטיות:

לגוף הנע בתאוצה רדיאלית ידוע כי מתקיים $a={\frac {v^{2}}{r}}$ .
הכוח החשמלי אשר צריך להחזיק את האלקטרון בתנועתו סביב הגרעין: $F={\frac {ke^{2}}{r^{2}}}$ .

נציב שתי משוואות אלו לתוך חוק ניוטון השני ( $\ F=ma$ ) ונקבל את הקשר: ${\frac {ke^{2}}{r^{2}}}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}$ או ${\frac {ke^{2}}{r}}={m_{e}v^{2}}$ .

מהצבה לתוך ביטוי האנרגיה הכוללת של האלקטרון: $E=E_{k}+E_{p}={\frac {m_{e}v^{2}}{2}}-{\frac {ke^{2}}{r}}=-{\frac {ke^{2}}{2r}}$

קשר זה מכיל גדלים שניתן היה להעריך באותה תקופה, כאשר ידוע כי עבור אטום המימן אנרגיית הינון היא בקרוב $\ E=13.6eV$ , וכי רדיוס האטום הוא בקרוב $\ R=0.529A$ . הקשר שהתקבל מתאים לגדלים מדודים אלו.

הכישלון מתבטא בהערכת זמן הקריסה של האלקטרון לתוך הגרעין, הנובע מקצב פליטת האנרגיה המוערך. קצב פליטת האנרגייה של גוף בתאוצה הוא: ${\frac {dE}{dt}}={\frac {2ke^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

מהצבת ביטוי האנרגייה שהתקבל למשוואה זו, ובשינוי סדר של האיברים מקבלים: ${\frac {ke^{2}}{2r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}={\frac {2ke^{2}}{3c^{2}}}\left({\frac {ke^{2}}{m_{e}r^{2}}}\right)^{2}$ זהו מד"ר ב-r ו-t אשר פתרונו מניב את הקשר: $t={\frac {m_{e}^{2}c^{3}k^{2}e^{4}}{32|E|}}$ .

מהצבת אנרגיית הינון של אטום המימן $\ E=13.6eV$ ושאר הגדלים הידועים (מהירות האור, מסת האלקטרון וכו') מתקבל כי זמן הקריסה המוערך הוא: $t<2\times 10^{-}11sec$ . ידוע לנו כי אטום המימן הוא אטום יציב וכאן מתקיימת סתירה.

סימונים בהם נעשה שימוש

$\ k$ קבוע קולון.
$\ e$ מטען האלקטרון.
$\ m_{e}$ מסת האלקטרון.
$\ c$ מהירות האור.
$\ E_{k}$ אנרגייה קינטית.
$\ E_{p}$ אנרגייה פוטנציאלית.

ספקטרום הפליטה

ספקטרום פליטה של חנקן בתחום האור הנראה

במקביל למודל השונים, ניסויים מסוף המאה ה-19 גילו כי כאשר חומר עובר עירור אנרגטי (מוכנסת לחומר אנרגייה למשל ע"י מחימום, פגיעת אלקטרונים, הקרנת פוטונים מאורכי גל שונים ועוד) הקרינה הנפלטת ממנו, נפלטת בתדרים בדידים.
ניסויים באטום המימן הראו כי קיימות סדרות של קווי פליטה המקיימות יחס מתמטי קבוע. הסדרה הראשונה שהתגלתה קיימה חוקיות....
המודל הפלנטרי לא יכל להסביר גם את הניסוי הזה.

הצעתו של בוהר

על-מנת להתגבר על קשיים אלה הציע נילס בוהר ב-1913 תיקונים למודל הפלנטרי, המודל המשופר נודע היום בשם מודל האטום של בוהר. עקרונות המודל הם:

האלקטרונים יכולים להיות רק במספר מסלולים סביב הגרעין.
חוקי המכניקה הקלאסית לא חלים במעבר אלקטרון ממסלול למסלול.
כאשר אלקטרון "קופץ" ממסלול למסלול הפרש האנרגיות נישא, או מסופק, על-ידי מנת אנרגיה (הקרויה היום פוטון) שהאנרגיה שלה שווה להפרש האנרגיות בין המסלולים.
המסלולים המותרים תלויים בערכים ספורים של תנע זוויתי על-פי הנוסחה:
$\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$
כאשר n הוא מספר טבעי כלשהו המייצג את מספר המסלול (1- ה"נמוך ביותר" המותר) ו-h הוא קבוע פלאנק.

יש לשים לב שמודל זה עדיין לא משתמש במכניקת קוונטים. הנחה 2 לא אומרת אילו חוקים מחליפים את חוקי המכניקה הקלאסית בעת "קפיצת" האטום, והנחה 4 לא מסבירה מדוע המסלולים תלויים דווקא בתנע הזוויתי.