שיפוע המשיק - הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה

מושגים

$C$ – שיפוע
$C_{a}$ – שיפוע הפונקציה בנקודה X=0

הוכחה

נזכיר שמציאת שיפוע מתבצע על פי הנוסחא : $tan\alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$ .

נמצא עבור הפונקציה y=3^x את ערך C שלה ב-X שונים.

שיפוע המשיק בנקודת ההשקה שווה לאפס (מסומן ב- $C_{a}$ ). לכן :

${\begin{aligned}C_{3}=f_{3}0\prime \\&=lim_{h\to 0}{\frac {a^{x_{0}}*(a^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {a^{0}*(a^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {1*(a^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {3^{h}-1}{h}}\\&=lim_{h=0.001}{\frac {3^{0.001}-1}{0.001}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {{\color {red}1}*(3^{0.001}-1)}{0.001}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C_{3}1=F_{3}0'&=lim_{h\to 0}{\frac {a^{x_{0}}(a^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {3^{1}(3^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {{\color {red}3}(3^{0}.001-1)}{0.001}}\\&=3*1.099\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C_{3}2=F_{3}2'&=lim_{h\to 0}{\frac {3^{x_{0}}(a^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {3^{2}(3^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {{\color {red}9}(3^{0}.001-1)}{0.001}}=9*1.099\\\end{aligned}}$

על סמך מה שראיתם :

כאשר $C_{a}0$ נקבל שיפוע כפול 1 ( $a^{0}$ ).
כאשר $C_{a}1$ מקבל שיפוע כפול $a^{1}$ וכן הלאה.

נסחו במילים את הקשר בין C (שיפוע המשיק) לבין נגזרת פונקציה מעריכית בנקודה $X=0$ ( $C_{a}$ ) כלשהי : $C=a*Ca$ , כלומר :

הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת פונקציה מעריכית

שיפוע פונקציה = שיפוע הפונקציה בנקודה $X=0$ כפול ערך הפונקציה!

.

סיכום שלבים למציאת שיפוע

הפונקציה : $f(x)=a^{x}$ .
שיפוע הפונקציה בנקודה $X=0:Ca=lim_{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}$ .
חישוב שיפוע : $C=a*Ca$ . נזכיר כי : $C_{a}=lna$

.

דוגמה:

מצא את שיפוע הפונקציה $y=2^{x}$ : נמצא את ערך Ca של הפונקציה : ${\begin{aligned}C_{2}=F_{2}0'&=lim_{h\to 0}{\frac {1(a^{h}-1)}{h}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\&=lim_{h=0.001}{\frac {2^{0}.001-1}{0.001}}\\&=lim_{h\to 0}{\frac {2^{0}.001-1}{0.001}}\\&=0.693\\\end{aligned}}$