מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
ניתן למיין משוואות חלקיות לפי תכונות בסיסיות כגון סדר ולינאריות, אך במדעים נהוג למיין לפי משמעות פיזיקלית. שני ההיבטים יוצגו בהמשך.
תכונות יסודיות[עריכה]
נהוג למיין משוואות חלקיות לפי:
- סדר. רוב המשוואות החלקיות במדע הן מסדר 2 (משוואות הרמוניות) או מסדר 4 (משוואות בי-הרמוניות).
- לינאריות. משוואה חלקית היא לינארית אם מתקיימת לינאריות בפונקציה הנעלמת ובנגזרותיה. לדוגמה, המשואה
היא לינארית, אבל המשוואות ה"פשוטות"
אינן לינאריות.
- קווזי-לינאריות. משואה קוזי-לינארית היא משואה שבה הנגזרות מסדר נמוך אינן לינאריות, אך כל הנגזרות מסדר גבוה כן לינאריות, לדוגמה
היא קוזי-לינארית.
- סמי-לינאריות. משוואה סמי-לינארית היא לא לינארית אך ורק בפונקציה הנעלמת, לדוגמה,
.
אופרטורים לינאריים[עריכה]
אופרטור דיפרנציאלי לינארי מקיים את התכונות של אופרטור לינארי:
![{\displaystyle \ L[au({\vec {x}})+bv({\vec {x}})]=aL[u({\vec {x}})]+bL[v({\vec {x}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83869dffc074020d6db80c7826e06083a80af1b7)
כאשר a,b סקלרים ו-u,v פונקציות מרובות משתנים.
הגרדיאנט הוא נגזרת בכיוון המשופע ביותר. לפונקציה בשלושה משתנים,

אופרטור לפלס[עריכה]
הלפלסיאן Δ הוא אופרטור נפוץ מאוד באנליזה דיפרנציאלית. במקרה של שלושה משתנים,

פתרון u של משוואת לפלס
נקרא פונקציה הרמונית.
משוואת לפלס אי-הומוגנית נקראת משוואת פואסון:

משמעות פיזיקלית[עריכה]
סקירה קצרה זו נועדה לשם התרשמות כללית. פירוט של כל בעיה יופיע בפרקים הבאים של הספר.
משוואת החום[עריכה]
משוואת החום מתארת את שינוי הטמפרטורה u של חומר עם מקדם הולכה k, כפונקציה של זמן.

משוואת הגלים[עריכה]
משוואת הגלים מתארת התפשטות של גל במשרעת u ובמהירות c.

תנודות של מיתר[עריכה]
תנודות של מיתר חד-מימדי סופי עם קצוות נייחים.
במקרה החד-מימדי,

משוואות Navier-Stokes[עריכה]
משוואות NS מתארות את הפילוג של המהירות, הצפיפות והלחץ של שדה הזרימה של זורם בעל צמיגות קינמטית ν.

משוואת שרדינגר[עריכה]

משוואות נוספות[עריכה]
משוואת המשטח המינימלי[עריכה]

משוואת Tricomi[עריכה]
