משוואות דיפרנציאליות חלקיות/מיון משוואות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

ניתן למיין משוואות חלקיות לפי תכונות בסיסיות כגון סדר ולינאריות, אך במדעים נהוג למיין לפי משמעות פיזיקלית. שני ההיבטים יוצגו בהמשך.

תכונות יסודיות[עריכה]

נהוג למיין משוואות חלקיות לפי:

  1. סדר. רוב המשוואות החלקיות במדע הן מסדר 2 (משוואות הרמוניות) או מסדר 4 (משוואות בי-הרמוניות).
  2. לינאריות. משוואה חלקית היא לינארית אם מתקיימת לינאריות בפונקציה הנעלמת ובנגזרותיה. לדוגמה, המשואה היא לינארית, אבל המשוואות ה"פשוטות" אינן לינאריות.
    1. קווזי-לינאריות. משואה קוזי-לינארית היא משואה שבה הנגזרות מסדר נמוך אינן לינאריות, אך כל הנגזרות מסדר גבוה כן לינאריות, לדוגמה היא קוזי-לינארית.
    2. סמי-לינאריות. משוואה סמי-לינארית היא לא לינארית אך ורק בפונקציה הנעלמת, לדוגמה, .

אופרטורים לינאריים[עריכה]

אופרטור דיפרנציאלי לינארי מקיים את התכונות של אופרטור לינארי:

כאשר a,b סקלרים ו-u,v פונקציות מרובות משתנים.

גרדיאנט[עריכה]

הגרדיאנט הוא נגזרת בכיוון המשופע ביותר. לפונקציה בשלושה משתנים,

אופרטור לפלס[עריכה]

הלפלסיאן Δ הוא אופרטור נפוץ מאוד באנליזה דיפרנציאלית. במקרה של שלושה משתנים,

פתרון u של משוואת לפלס נקרא פונקציה הרמונית.

משוואת לפלס אי-הומוגנית נקראת משוואת פואסון:

משמעות פיזיקלית[עריכה]

סקירה קצרה זו נועדה לשם התרשמות כללית. פירוט של כל בעיה יופיע בפרקים הבאים של הספר.

משוואת החום[עריכה]

משוואת החום מתארת את שינוי הטמפרטורה u של חומר עם מקדם הולכה k, כפונקציה של זמן.

Blue think.svg ויקיפדיה: משוואת החום

משוואת הגלים[עריכה]

משוואת הגלים מתארת התפשטות של גל במשרעת u ובמהירות c.

Blue think.svg ויקיפדיה: משוואת הגלים

תנודות של מיתר[עריכה]

תנודות של מיתר חד-מימדי סופי עם קצוות נייחים.

במקרה החד-מימדי,

משוואות Navier-Stokes[עריכה]

משוואות NS מתארות את הפילוג של המהירות, הצפיפות והלחץ של שדה הזרימה של זורם בעל צמיגות קינמטית ν.

Blue think.svg ויקיפדיה: משוואות נאוויה-סטוקס

משוואת שרדינגר[עריכה]

Blue think.svg ויקיפדיה: משוואת שרדינגר

משוואות נוספות[עריכה]

משוואת המשטח המינימלי[עריכה]

משוואת Tricomi[עריכה]