משוואות דיפרנציאליות חלקיות/מיון משוואות

ניתן למיין משוואות חלקיות לפי תכונות בסיסיות כגון סדר ולינאריות, אך במדעים נהוג למיין לפי משמעות פיזיקלית. שני ההיבטים יוצגו בהמשך.

תכונות יסודיות

נהוג למיין משוואות חלקיות לפי:

1. סדר. רוב המשוואות החלקיות במדע הן מסדר 2 (משוואות הרמוניות) או מסדר 4 (משוואות בי-הרמוניות).
2. לינאריות. משוואה חלקית היא לינארית אם מתקיימת לינאריות בפונקציה הנעלמת ובנגזרותיה. לדוגמה, המשואה $\ \cos(y)u_{x}+e^{xy}u_{y}y=xu+y^{-2}$ היא לינארית, אבל המשוואות ה"פשוטות" $\ uu_{xx}+u_{yy}=0;\ u_{x}=u_{y}^{2}$ אינן לינאריות.
   1. קווזי-לינאריות. משואה קוזי-לינארית היא משואה שבה הנגזרות מסדר נמוך אינן לינאריות, אך כל הנגזרות מסדר גבוה כן לינאריות, לדוגמה $\ uu_{x}u_{y}+u_{xx}+u_{yy}=0$ היא קוזי-לינארית.
   2. סמי-לינאריות. משוואה סמי-לינארית היא לא לינארית אך ורק בפונקציה הנעלמת, לדוגמה, $\ u_{t}+u_{xx}=u^{8}$.

אופרטורים לינאריים

אופרטור דיפרנציאלי לינארי מקיים את התכונות של אופרטור לינארי:

$\ L[au({\vec {x}})+bv({\vec {x}})]=aL[u({\vec {x}})]+bL[v({\vec {x}})]$

כאשר a,b סקלרים ו-u,v פונקציות מרובות משתנים.

גרדיאנט

הגרדיאנט הוא נגזרת בכיוון המשופע ביותר. לפונקציה בשלושה משתנים,

$\ {\vec {\nabla }}u(x,y,z)=u_{x}{\hat {x}}+u_{y}{\hat {y}}+u_{z}{\hat {z}}$

אופרטור לפלס

הלפלסיאן Δ הוא אופרטור נפוץ מאוד באנליזה דיפרנציאלית. במקרה של שלושה משתנים,

$\ \Delta ={\vec {\nabla }}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

פתרון u של משוואת לפלס $\ \Delta u=0$ נקרא פונקציה הרמונית.

משוואת לפלס אי-הומוגנית נקראת משוואת פואסון:

$\ \Delta u=f$

משמעות פיזיקלית

סקירה קצרה זו נועדה לשם התרשמות כללית. פירוט של כל בעיה יופיע בפרקים הבאים של הספר.

משוואת החום

משוואת החום מתארת את שינוי הטמפרטורה u של חומר עם מקדם הולכה k, כפונקציה של זמן.

ויקיפדיה: משוואת החום

$\ u_{t}-k\Delta u=0$

משוואת הגלים

משוואת הגלים מתארת התפשטות של גל במשרעת u ובמהירות c.

ויקיפדיה: משוואת הגלים

$\ u_{tt}-c^{2}\Delta u=0$

תנודות של מיתר

תנודות של מיתר חד-מימדי סופי עם קצוות נייחים.

במקרה החד-מימדי,

$\ u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0$

משוואות Navier-Stokes

משוואות NS מתארות את הפילוג של המהירות, הצפיפות והלחץ של שדה הזרימה של זורם בעל צמיגות קינמטית ν.

ויקיפדיה: משוואות נאוויה-סטוקס

$\ {\begin{cases}\rho _{t}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {u}})=0\\{\vec {u}}_{t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p+\nu {\vec {\nabla }}^{2}u+{\vec {g}}\\p=f(\rho )\end{cases}}$

משוואת שרדינגר

ויקיפדיה: משוואת שרדינגר

$\ i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar }{2m}}\Delta \psi +V\psi$

משוואות נוספות

משוואת המשטח המינימלי

$\ (1+u_{y}^{2})u_{xx}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{x}^{2})u_{yy}=0$

משוואת Tricomi

$\ u_{xx}+xu_{yy}=0$