משוואות דיפרנציאליות חלקיות/הפרדת משתנים

בשיטת הפרדת המשתנים פועלים לפי הטכניקה הבאה:

מניחים שהפונקציה הנעלמת $\ u(x,y)$ תלויה בשתי פונקציות נפרדות: $\ u(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$ .
מציבים קשר זה לתוך המד"ח ופותרים את המד״ר המתקבלות, תוך שימוש בתנאי השפה של הבעיה.
מבטאים את הפתרון בצורת טורים טריגונומטריים אינסופיים (טורי פוריה).
מוצאים את מקדמי הטורים ע"י שימוש בתכונת האורתוגונליות.

בעיית חום חד ממדית בלתי-תמידית

בעיית החום מתארת פילוג טמפרטורה u במוט חד ממדי שאורכו L.

 $\ {\begin{cases}u_{t}+ku_{xx}=0\\0\leq x\leq L,\ t\geq 0\end{cases}}$

בעיית דיריכלה עם תנאי שפה הומוגניים

פתרון בעיית דיריכלה נותן את פילוג הטמפרטורה u כתוצאה מפילוג טמפרטורה התחלתי f:

 $\ {\begin{cases}u(x,t=0)=f(x)\\u(x=0,t)=u(x=L,t)=0\end{cases}}$

(כמובן ש-f חייבת לקיים את תנאי השפה, כלומר $\ f(0)=f(L)=0$ )

נציב $\ u(x,t)=X(x)T(t)$ לתוך המד״ח ונבצע הפרדת משתנים:

 $\ {\frac {T_{t}}{kT}}={\frac {X_{xx}}{X}}$

מכיוון שבשני האגפים מופיעות פונקציות בעלות משתנים בלתי־תלויים, האפשרות היחידה לקיום השוויון הוא ששתי המנות שוות לקבוע כלשהו, שנסמן אותו ב-λ²:

 $\ {\begin{cases}{\cfrac {T_{t}}{kT}}=-\lambda ^{2}\quad \Rightarrow \quad T_{t}+\lambda ^{2}kT=0\\{\cfrac {X_{xx}}{X}}=-\lambda ^{2}\quad \Rightarrow \quad X_{xx}+\lambda ^{2}X=0\end{cases}}$

וכעת יש לפתור שתי מד״ר, אשר פתרונן ישתנה בהתאם לסימנו של הקבוע λ² (מניחים, ללא הגבלת הכלליות, ש-λ² הוא ממשי; ניתן להראות שלא קיימים פתרונות כאשר הוא מרוכב):

 $\ \left\{{\begin{array}{ll}\lambda ^{2}=0:&T(t)=\alpha t\\\lambda ^{2}>0:&T(t)=\alpha e^{-\lambda ^{2}kt}\\\lambda ^{2}<0:&T(t)=\alpha e^{\lambda ^{2}kt}\end{array}}\right.$

האפשרות הראשונה לא מקיימת את תנאי השפה ולכן אינה קבילה. האפשרויות השניה והשלישית זהות זו לזו.

נבצע ניתוח דומה עבור X:

 $\ \left\{{\begin{array}{ll}\lambda ^{2}=0:&X(x)=\alpha +\beta x\\\lambda ^{2}>0:&X(x)=\alpha \cos(\lambda x)+\beta \sin(\lambda x)\\\lambda ^{2}<0:&X(x)=\alpha e^{\lambda x}+\beta e^{-\lambda x}\end{array}}\right.$

האפשרות הראשונה והשלישית מקיימות את תנאי השפה רק אם שני הקבועים מתאפסים, ופתרון זה אינו עוזר לנו. האפשרות השניה מקיימת את תנאי השפה רק אם α=0 וגם:

 $\ \sin(\lambda L)=0\quad \Rightarrow \quad \lambda ={\frac {n\pi }{L}}$

כך שנותרנו עם:

 $\ \lambda ^{2}>0:\quad u_{n}(x,t)=X(x)T(t)={\tilde {\alpha }}_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-k\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)^{2}t}$

ובסופרפוזיציה:

 $\ u(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\tilde {\alpha }}_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-k\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)^{2}t}$

נציב את תנאי ההתחלה:

 $\ u(x,0)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\tilde {\alpha }}_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)=f(x)$

נכפול את שני האגפים ב- $\ \sin \left({\tfrac {m\pi x}{L}}\right)$ ונבצע אינטגרציה בתחום הבעיה:

 $\ \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\tilde {\alpha }}_{n}\int \limits _{0}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx=\int \limits _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx$

שימוש בתנאי האורתוגונליות יתן:

 $\ \int \limits _{0}^{L}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx={\begin{cases}{\tfrac {L}{2}},&m=n\\0,&m\neq n\end{cases}}\qquad \Rightarrow \qquad {\tilde {\alpha }}_{m}={\frac {2}{L}}\int \limits _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx$

ולכן הפתרון הינו:

 $\ {\begin{cases}u(x,t)=\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\tilde {\alpha }}_{m}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-k\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)^{2}t}\\{\tilde {\alpha }}_{m}={\frac {2}{L}}\int \limits _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {m\pi x}{L}}\right)dx\end{cases}}$

בעיית לפלס

$\ u_{xx}+u_{yy}=0$

בעיית דיריכלה (Dirichlet)

תנאי השפה בבעיה זו הינם:

\ u(x=0,y)=0,\ u(x=l,y)=0,\ u(x,y=0)=f(x),\ u(x,y\to \infty )=0