לדלג לתוכן

משוואות דיפרנציאליות חלקיות/בעיה מוצגת היטב

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

מהי בעיה?

[עריכה]

"בעיה" היא צירוף של משוואה עם תנאי שפה ו/או התחלה.

בניגוד למד"ר, שם ניתן למצוא לרוב פתרון כללי בלי קשר לתנאי ההתחלה, במד"ח תנאי השפה/התחלה משפיעים מאוד על הפתרון.

תנאי התחלה

[עריכה]
התקדמות של גל במיתר (מימד הזמן לא מופיע באיור)

תנאי התחלה הוא תנאי שניתן בזמן כלשהו (לרוב ב-t=0) עבור תחום מרחבי כלשהו. לדוגמה, עבור בעיה של תנודות מיתר נצטרך לספק את מצב המיתר בזמן t=0, כלומר תנאי ההתחלה יוכלו להראות כך:

כאשר u היא גובה המיתר מעל ציר x בזמן t כלשהו, ו-ut היא מהירות המיתר בזמן כלשהו.

תנאי שפה

[עריכה]

תנאי שפה הוא תנאי שניתן בגבולו של התחום שבו פותרים את המשוואה. לדוגמה, עבור תנודות של מיתר, תנאי שפה יכול להיות ההפרעה (נפנוף של היד) שמכניסים בקצוות המיתר:

תנאי השפה לעיל מתארים מצב שבו מיתר באורך L מנודנד לפי הפונקציה h בקוארדינטה 0, ובצד השני (x=L) הוא מחובר לקיר (לא זז).

קיימים שלושה סוגים של תנאי-שפה:

  1. דיריכלה (Dirichlet): מספק את ערך הפונקציה על שפת התחום.
  2. ניומן (Neumann): מספק את נגזרתה הנורמלית של הפונקציה על שפת התחום. המשמעות הפיזיקלית של תנאי זה היא לרוב מהירות.
  3. רובין (Robin): מספק צירוף לינארי של הפונקציה ושל נגזרתה הנורמלית על שפת התחום. המשמעות הפיזיקלית של תנאי זה היא שטף.

בעיה מוצגת היטב

[עריכה]

בעיה נחשבת למוצגת היטב אם מתקיימים 3 תנאים:

  • קיום: לבעיה קיים פתרון.
  • יחידות: לבעיה קיים פתרון יחיד.
  • יציבות: עבור שינוי "קטן" בתנאי השפה/התחלה, מתקבל שינוי "קטן" בפתרון.