מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
ניתן למיין משוואות חלקיות לפי תכונות בסיסיות כגון סדר ולינאריות, אך במדעים נהוג למיין לפי משמעות פיזיקלית. שני ההיבטים יוצגו בהמשך.
תכונות יסודיות[עריכה]
נהוג למיין משוואות חלקיות לפי:
- סדר. רוב המשוואות החלקיות במדע הן מסדר 2 (משוואות הרמוניות) או מסדר 4 (משוואות בי-הרמוניות).
- לינאריות. משוואה חלקית היא לינארית אם מתקיימת לינאריות בפונקציה הנעלמת ובנגזרותיה. לדוגמה, המשואה היא לינארית, אבל המשוואות ה"פשוטות" אינן לינאריות.
- קווזי-לינאריות. משואה קוזי-לינארית היא משואה שבה הנגזרות מסדר נמוך אינן לינאריות, אך כל הנגזרות מסדר גבוה כן לינאריות, לדוגמה היא קוזי-לינארית.
- סמי-לינאריות. משוואה סמי-לינארית היא לא לינארית אך ורק בפונקציה הנעלמת, לדוגמה, .
אופרטורים לינאריים[עריכה]
אופרטור דיפרנציאלי לינארי מקיים את התכונות של אופרטור לינארי:
כאשר a,b סקלרים ו-u,v פונקציות מרובות משתנים.
הגרדיאנט הוא נגזרת בכיוון המשופע ביותר. לפונקציה בשלושה משתנים,
אופרטור לפלס[עריכה]
הלפלסיאן Δ הוא אופרטור נפוץ מאוד באנליזה דיפרנציאלית. במקרה של שלושה משתנים,
פתרון u של משוואת לפלס נקרא פונקציה הרמונית.
משוואת לפלס אי-הומוגנית נקראת משוואת פואסון:
משמעות פיזיקלית[עריכה]
סקירה קצרה זו נועדה לשם התרשמות כללית. פירוט של כל בעיה יופיע בפרקים הבאים של הספר.
משוואת החום[עריכה]
משוואת החום מתארת את שינוי הטמפרטורה u של חומר עם מקדם הולכה k, כפונקציה של זמן.
משוואת הגלים[עריכה]
משוואת הגלים מתארת התפשטות של גל במשרעת u ובמהירות c.
תנודות של מיתר[עריכה]
במקרה החד-מימדי,
משוואות Navier-Stokes[עריכה]
משוואות NS מתארות את הפילוג של המהירות, הצפיפות והלחץ של שדה הזרימה של זורם בעל צמיגות קינמטית ν.
משוואת שרדינגר[עריכה]
משוואות נוספות[עריכה]
משוואת המשטח המינימלי[עריכה]
משוואת Tricomi[עריכה]