מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית

רענון

בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : $y=ax^{2}+bx+c$, המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :

1. כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - מקדם ה-$X^{2}$ שונה מאפס ($a\neq 0$).
2. כאשר הנוסחא מייצגת פונקציה ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה - כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : $a=0$.

לאחר מכן, חקרנו כל אחת מהפונקציות בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.
בניגוד לפרק בו חקרנו משוואה ריבועית, בפרק זה נחקור רק פונקציה ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש$a\neq 0$.

תיאור הפונקציה

$y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$

כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :

1. קודקוד הפרבולה/מוקד.
2. ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
3. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.

תחום הגדרה

1. $a\neq 0$ - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.

נקודות חיתוך עם הצירים

דוגמא לשלושת המצבים

חיתוך עם ציר X

1. בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
2. הצבה y=0.
3. מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון:
   • $\Delta =b^{2}-4ac$
   • טרינום
   • פירוק לגורמים.
4. 3 מצבים :
   • $\Delta >0$ - שתי נקודות חיתוך עם ציר X.
   • $\Delta =0$ - נקודת חיתוך אחת הנמצאת על ציר X.
   • $\Delta <0$ - אין נקודות חיתוך עם ציר X.
5. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
6. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה : "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").

חיתוך עם ציר Y

1. הצבה X=0.
2. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
   • חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
   • אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.

תחום שלילי וחיובי

קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר

כיתוב תמונה

1. רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
   • תחום חיובי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : $ax^{2}+bx+c>0$.
   • תחום שלילי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : $ax^{2}+bx+c>0$.
2. מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
3. שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
4. קביעת תחום - סימון התחום הנדרש :
   • מעל ציר X - תחום חיובי.
   • מתחת ציר Y - תחום שלילי.

סימונים

נזכיר כיצד מסמנים תחום.
ההתבנית המשותפת : {X|התחום}.
סוגי סוגרים :

1. () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
2. [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : $\geq$ או $\leq$)
3. [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.

נקדת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד

דרך א'

ערך הנקודה

שיעור X של קודקוד הפרבולה : $X={\frac {-b}{2a}}$.

שיעור Y של קודקוד הפרבולה : $Y=c{\frac {-b^{2}}{4a}}$

סוג נקודת קיצון

1. מינמום - a>0.
2. מקסימום - a<0.

דרך ב'

מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :

1. גזירה.
2. מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
3. סימון על גרף מיקום.
4. סימון מקסימום מינמום על הגרף.

נקודות פיתול

לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.

תחומי עלייה וירידה

שתי דרכים :

1. ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
2. פתרית משוואה :
   • פרבולה ישרה - יורדת כאשר $X<{\frac {-b}{2a}}$ ועולה כאשר $X>{\frac {-b}{2a}}$.
   • פרבולה הפוכה - יורדת כאשר $X>{\frac {-b}{2a}}$ ועולה כאשר $X<{\frac {-b}{2a}}$.

אסיפטוטות

אין.

תיאור גרפי

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.

פרבולה + c

# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y. # כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.

פרבולה בעלות נעלם ממעלה ראשונה

פרבולות בעלות נעלם ממעלה ראשונה. ישנם שני סוגים אפשריים:

1. פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר,$y=(ax\pm b)$
2. פרבולות מהצורה : $ax^{2}+bx$

• 
  כאשר b חיובי – הפרבולה זזה לכיוון ימין
• 
  כאשר b שלילי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל.