חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
=סדרות חסומות=
ישנן סוגים רבים של סדרות שניתן לחשוב עליהן, אך בפרק זה אנחנו נשים דגש מיוחד בתכונות של סדרות מסוימות, סדרות שכל איבריהןאבריהן גדולים או קטנים ממספרים ממשיים כלשהם ונשים לב לתכונות המיוחדות שלהן. אך ראשית, מספר דוגמאות.
 
ישנן סוגים רבים של סדרות שניתן לחשוב עליהן, אך בפרק זה אנחנו נשים דגש מיוחד בתכונות של סדרות מסוימות, סדרות שכל איבריהן גדולים או קטנים ממספרים ממשיים כלשהם ונשים לב לתכונות המיוחדות שלהן. אך ראשית, מספר דוגמאות.
 
===דוגמאות===
* נסתכל על הסדרה <math>1,\frac{1}{2}frac12,\frac {1}{3}frac13,\frac{1}{4} frac14,\dots</math> . קל לראות (וכן להוכיח) שאיברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל- <math>1</math> ותמיד גדולים מ- <math>0</math> (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי-חיובי כלשהו).
* איבריאברי הסדרה <math>\left\{1+\frac{1}{n^2}\right\}_{n=1}^\infty</math> תמיד גדולים או שווים ל- <math>1</math> ותמיד תמיד קטנים או שווים מ- <math>2</math> .
 
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות:
 
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרה חסומה מלעיל|תוכן=
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math> n\in\mathbb{N} </math> מתקיים: <math>a_n < M</math> .{{ש}}
במקרה זה <math> M </math> יקרא חסם מלעיל (או חסם מלמעלה) של <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> .
}}
 
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמהשבדוגמא הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה.
{{הגדרה|מספר=2|שם=סדרה חסומה מלרע|תוכן=
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>a_n > M</math> .{{ש}}
במקרה זה נאמר ש- <math>M</math> הוא חסם מלרע (או חסם מלמטה) של הסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> .
}}
 
{{הגדרה|מספר=3|שם=סדרה חסומה|תוכן=
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע. }}
 
==משפטים==
{{משפט|מספר=1|שם=סדרה חסומה|תוכן=
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה אם ורק אם קיים <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>|a_n| < M</math>. .}}
 
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה.
 
{{הוכחה|
<math>(\Leftarrow)</math> תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה חסומה. לפי ההגדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים <math>M_1 \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים:
 
<math>a_n < M_1</math>
 
<math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים <math>M_2 \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים:
 
<math>a_n > M_2</math>
 
כעת, נבחר:
<math>M = \max\{M_1 , -M_2\}</math>
מבחירה זו נקבל: <math>M > M_1</math> וגם <math>M > -M_2</math> לכן, <math>-M < M_2</math> וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:
וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:
 
<math>

תפריט ניווט