חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף
< חשבון אינפיניטסימלי | נגזרת
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.{{ש}} |
ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.{{ש}} |
||
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.{{ש}} |
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.{{ש}} |
||
<math>f'(x) = |
<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}</math> |
||
אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:{{ש}}{{ש}} |
אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:{{ש}}{{ש}} |
||
<math>f'(x) = |
<math>f'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}</math> |
||
==דוגמא== |
==דוגמא== |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
{{ש}} |
{{ש}} |
||
<math> |
<math> |
||
\lim_{\Delta x \ |
\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{2x +\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}{2x} + \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x} = 2x + 0 = 2x |
||
</math> |
</math> |
גרסה אחרונה מ־23:08, 21 בנובמבר 2015
שיפוע של פונקציה לא לינארית[עריכה]
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: .
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.
הגדרת הנגזרת[עריכה]
נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו- הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
ככל ש- קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.
אם נסמן , נקבל:
דוגמא[עריכה]
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה :