מושג השדה

קבוצה $F$ עם פעולות חיבור וכפל ($+,\cdot$) תיקרא שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

א1. סגירות החיבור: אם $x,y\in F$, אז $x+y\in F$. א2. קומוטטיביות החיבור: לכל $x,y\in F$ מתקיים $x+y=y+x$.

א3. אסוציאטיביות החיבור: לכל $x,y,z\in F$ מתקיים $x+(y+z)=(x+y)+z$.

א4. קיום נייטרלי לחיבור: קיים איבר $0\in F$ כך ש $x+0=x$ לכל $x\in F$.

א5. קיום נגדי: לכל $x\in F$ קיים איבר $y\in F$ כך ש$x+y=0$. מסמנים $y=-x$.

ב1. סגירות הכפל: לכל $x,y\in F$ מתקיים $x\cdot y\in F$.

ב2. קומוטטיביות הכפל: לכל $x,y\in F$ מתקיים $x\cdot y=y\cdot x$.

ב3. אסוציאטיביות הכפל: לכל $x,y\in F$ מתקיים $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$

ב4. קיום נייטרלי לכפל: קיים איבר $1\in F$ כך ש $x\cdot 1=x$ לכל $x\in F$.

ב5. קיום הופכי: לכל $x\in F$, אם $x\neq 0$, אז קיים איבר $y\in F$ כך ש$x\cdot y=1$. מסמנים $y=x^{-1}$.

ג1. דיסטריבוטיביות: לכל $x,y,z\in F$ מתקיים $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.