מושג השדה

קבוצה $\mathbb {F}$ עם פעולות חיבור וכפל ($+,\cdot$) תיקרא שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

א1. סגירות החיבור: אם $x,y\in \mathbb {F}$ אז $x+y\in \mathbb {F}$.

א2. חילופיות החיבור: לכל $x,y\in \mathbb {F}$ מתקיים $x+y=y+x$.

א3. קיבוציות החיבור: לכל $x,y,z\in \mathbb {F}$ מתקיים $(x+y)+z=x+(y+z)$.

א4. קיום אדיש לחיבור: קיים אבר $0\in \mathbb {F}$ עבורו $x+0=x$ לכל $x\in \mathbb {F}$.

א5. קיום נגדי: לכל $x\in \mathbb {F}$ קיים אבר $y\in \mathbb {F}$ עבורו $x+y=0$. מסמנים $y=-x$.

ב1. סגירות הכפל: לכל $x,y\in \mathbb {F}$ מתקיים $x\cdot y\in \mathbb {F}$.

ב2. חילופיות הכפל: לכל $x,y\in \mathbb {F}$ מתקיים $x\cdot y=y\cdot x$.

ב3. קיבוציות הכפל: לכל $x,y\in \mathbb {F}$ מתקיים $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

ב4. קיום אדיש לכפל: קיים אבר $1\in \mathbb {F}$ עבורו $x\cdot 1=x$ לכל $x\in \mathbb {F}$.

ב5. קיום הופכי: לכל $0\neq x\in \mathbb {F}$ קיים אבר $y\in \mathbb {F}$ עבורו $x\cdot y=1$. מסמנים $y=x^{-1}$.

ג1. פילוג: לכל $x,y,z\in \mathbb {F}$ מתקיים $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$.