מבני נתונים ואלגוריתמים - מחברת קורס/אלגוריתמים/תכנון דינאמי/תרגילים/חיתוך בד/תשובה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

המבנה הרקורסיבי[עריכה]

נגדיר כ את מקסימום הרווח מפיסת בד במידות .‏



משפט:

נתונה על ידי נוסחת הנסיגה הבאה:





(כאשר הוא הערך המוחזר מהפונקציה Value(i, j)).


כדאי לדעת:

שים לב שהנוסחה הנ"ל כוללת בתוכה תנאי עצירה, מפני שעבור , מה שכתוב כאן הינו פשוט .

אפשר גם לכתוב את נוסחת הנסיגה בדרכים אחרות, ובחלקן גם יופיעו תנאי עצירה בצורה מפורשת יותר.


הוכחה: יש שלוש אפשרויות:

  1. כדאי לחתוך את פיסת הבד אפקית באיזשהו (כמתואר בתרשים הבא). נשים לב שאפשרות זו רלוונטית רק עבור עבור .
  2. כדאי לחתוך את פיסת הבד אנכית באיזשהו (כמתואר בתרשים הבא אחריו). נשים לב שאפשרות זו רלוונטית רק עבור עבור .
  3. כלל לא משתלם לחתוך את פיסת הבד.

בתרשים הבא, לדוגמה, חיתוך אופקי של הצורה בA בשורה ייצור שתי צורות מלבניות בB; לראשונה שבהן יהיו שורות:

חיתוך אופקי.

בתרשים הבא, לדוגמה, חיתוך אנכי של הצורה בA בעמודה ייצור שתי צורות מלבניות בB; לראשונה שבהן יהיו עמודות:

חיתוך אנכי.


כעת נדון בכל אחת משלוש האפשרויות:

  1. כדאי לחתוך את פיסת הבד אפקית באיזשהו . במקרה זה נקבל שתי חתיכות בד, האחת במידות ,‏ והשניה במידות . עפ"י ההגדרה, הטוב ביותר שאפשר להשיג עבור הראשונה הוא ,‏ ועבור השניה .
  2. כדאי לחתוך את פיסת הבד אנכית באיזשהו . במקרה זה נקבל שתי חתיכות בד, האחת במידות ,‏ והשניה במידות . עפ"י ההגדרה, הטוב ביותר שאפשר להשיג עבור הראשונה הוא ,‏ ועבור השניה .
  3. כלל לא משתלם לחתוך את פיסת הבד: הטוב ביותר האפשרי הוא Value(i, j).

היות שאיננו יודעים איזו משלוש האפשרויות היא הטובה ביותר, אנו לוקחים את המקסימום מבין שלושתן.

מש"ל.PNG

מימוש רקורסיבי נאיבי[עריכה]

הפסוודו-קוד הבא מראה מימוש פשוט לנוסחה הנ"ל:

Max-Value(i, j)
1	max-value = 0

	# Check horizontal cuts.

	# This loop means the C-language loop for(i' = 1; i' < i; ++i')
2	for i' in [1, ..., i - 1]
3		guess = Max-Value(i', j) + Max-Value(i - i', j)		
4		if guess > max-value
5			max-value = guess
		
	# Check vertical cuts.

	# This loop means the C-language loop for(j' = 1; j' < j; ++j')
6	for j' in [1, ..., j - 1]
7		guess = Max-Value(i, j') + Max-Value(i, j - j')		
8		if guess > max-value
9			max-value = guess

	# Check the worth of this shape.

19	guess = Value(i, j)
	
11	if guess > max-value
12		max-value = guess

13	return max-value

שימוש בmemoization[עריכה]

כרגיל, נוסיף מבנה נתונים פשוט (במקרה זה המטריצה M) כדי לשמור את הערכים שכבר חישבנו:

1	M = Make-Matrix(m, n)

2	for i in [1, ..., m]
3		for j in [1, ..., n]
4			M[i][j] = Nil


Max-Value(i, j)
1	if M[i, j] != Nil
2		return M[i, j]

4	max-value = 0

	# Check horizontal cuts.

5	for i' in [1, ..., i - 1]
6		guess = Max-Value(i', j) + Max-Value(i - i', j)		
7		if guess > max-value
8			max-value = guess
		
	# Check vertical cuts.

9	for j' in [1, ..., j - 1]
10		guess = Max-Value(i, j') + Max-Value(i, j - j')		
11		if guess > max-value
12			max-value = guess

	# Check the worth of this shape.

13	guess = Value(i, j)
	
14	if guess > max-value
15		max-value = guess
		
16	M[i, j] = max-value

17	return max-value

הדפסת החלטות החיתוך[עריכה]

שוב כרגיל, כדי לשמור גם את סדרת הפעולות (ולא רק תוצאתן), נוסיף עוד מבנה נתונים פשוט (במקרה זה המטריצה C):

1	M = Make-Matrix(m, n)
2	C = Make-Matrix(n, n)

3	for i in [1, ..., m]
4		for j in [1, ..., n]
5			M[i][j] = Nil
6			C[i][j] = Nil


Max-Value(i, j)
1	if M[i, j] != Nil
2		return M[i, j]

3	max-value = 0

	# Check horizontal cuts.

4	for i' in [1, ..., i - 1]
5		guess = Max-Value(i', j) + Max-Value(i - i', j)		
6		if guess > max-value
7			max-value = guess
8			C[i][j] = ('Horizontal', i')
		
	# Check vertical cuts.

9	for j' in [1, ..., j - 1]
10		guess = Max-Value(i, j') + Max-Value(i, j - j')		
11		if guess > max-value
12			max-value = guess
13			C[i][j] = ('Vertical', j')

	# Check the worth of this shape.

14	guess = Value(i, j)
	
15	if guess > max-value
16		max-value = guess
17		C[i][j] = ('Shape', 0)
		
18	M[i, j] = max-value

19	return max-value

המטריצה C היא מטריצה של זוגות (בשפת C היינו ממשים זאת בעזרת מטריצה של מבנים):

  1. האיבר הראשון בכל זוג הוא מחרוזת, המתארת איזו משלול האפשרויות היא בחרנו.
  2. האיבר השני בכל זוג הוא מספר המתאר היכן חתכנו.


הנה הקוד המדפיס את סדרת הפעולות:

Print-Cuts(i, j)
1	Print('For the best value of ' + i + ' and ' + j)

2	(type, index) = C[i][j]

3	if type == 'Horizontal'
4		Print 'Cut horizontally at ' + index
5		Print-Cuts(index, j)
6		Print-Cuts(i - index, j)
7	else if type == 'Vertical'
8		Print 'Cut vertically at ' + index
9		Print-Cuts(i, index)
10		Print-Cuts(i, j - index)
11	else
12		Print 'Use the shape itself'

ניתוח סיבוכיות[עריכה]

נגדיר כ את סיבוכיות Max-Cuts(i, j) בהנחה שכל קריאה רקורסיבית היא . קל מאד לראות מהקוד ש. נשים לב גם ש, ולכן . סיבוכיות חסומה מלמעלה על ידי .

גם כאשר לוקחים בחשבון את האתחול והדפסת הפרטים, הפתרון עדיין .