מבוא לשיטות נומריות/משוואות דיפרנציאליות רגילות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הקדמה:

- פתרון אנליטי נותן פונקציה

- פתרון נומרי נותן ערכים בנקודות מסויימות.

סוגי בעיות:

א) בעיית מד"ר מסדר ראשון:

1) שיטת אויילר.
2) שיטות סתומות.
3) שיטת קרנק-ניקולסון.
4) שיטת הנקודה המרכזית.
5) שיטת אויילר המשופרת.

ב) בעיית מד"ר מסדר שני או גבוה יותר:

  • שיטת רונגה-טונגה.

ג) בעיית מערכת משוואות דיפרנציאליות:

  • שימוש בשיטת אויילר.

ד) בעיית תנאי שפה (תנאי גבול)

1) shooting method.
2) הפרשים סופיים.


בעיית מד"ר מסדר ראשון

  • צורה כללית:
  • ת. התכולה:

1) שיטת אויילר

דרך א:

  • קירוב טיילור מסדר ראשון סביב :

  • אנו רוצים את הערך בנקודה הבאה נציב:

  • הביטוי הכללי:

כאשר היא השגיאה.


דרך ב:

  • במקום קירוב טיילור נבצע נגזרת קדמית:

  • הביטוי הכללי:

  • השגיאה: מושפעת מגודל הצעד ומורכבת משגיאה מקומית: עבור כל שלב בפתרון ומשגיאה גלובלית: שגיאה המצטברת עד לנקודה בפתרון.


2) שיטות (סכמות) סתומות:

  • בדומה לאוילר נחשב נגזרת אך ע"י צעד אחורנית:


  • הבעייה בשיטה זו: הנעלם מופיע משני צידי המשוואה ולכן מדובר במשוואה סתומה.


3) שיטת קרנק-ניקולסון

  • נחשב נגזרת ע"י קירוב מרכזי:

  • כעת נמצע:

  • נבודד את

  • גם בשיטה זו ישנה בעייתיות כי הנעלם מופיע משני צידי המשוואה ולכן מדובר במשוואה סתומה.


יציבות

  • באופן כלי לשיטות סתומות תכונות יציבות-פתרון טובות יותר.
  • שגיאות מצעדים קודמים אינן גדולות מצעד לצעד בפתרון.
  • שיפורים לשיטת אויילר:

- קירוב טיילור מסדר גבוה (בעיה: הנגזרות של עלולות להיות מסובכות.

- הקטנת h גודל הצעד (בעיה: מספר החישובים גדל, שגיאות עיגול).

- קירוב יותר טוב לשיפוע הנגזרת הראשונה (אויילר משתמש בקירוב קדמי).


4) שיטת הנקודה המרכזית

  • כמו בשיטת קרנק-ניקולסון, נחשב נגזרת ע"י קירוב מרכזי:


  • ונחשב את לפי שיטת אויילר:

  • אנו בעצם מחשבים את הנקודה החדשה ע"י ערך הנגזרת באמצע הקטע.


5) שיטת אויילר המשופרת

  • שלבי פתרון:
1) לפי אויילר:
2) נגדיר k=0.
3) חישוב השיפוע הממוצע:
4) לפי קרנק-ניקולסון: תיקון הנקודה החדשה.
5) k=k+1.
6) לולאה, חזרה לשלב 3.
  • בשיטה זו יש אפשרות לאיטרציות פנימיות (k). חוזים ערך לפונקציה בנקודה חדשה ומבצעים תיקון באמצעות שיפוע הנקודה החדשה.
  • סדר גודל השגיאה בשיטה זו ובשיטת הנקודה המרכזית הוא מקומית , גלובלית

הקטנת הצעד משפרת דיוק.


ב) בעיית מד"ר מסדר שני או גבוה יותר

  • צורה כללית:
  • תאנים - 2 תנאים נתונים באותה נקודה:


שיטת פתרון: רונגה טונגה

  • הביטוי הכללי:
  • הפונקציה מבטאת את השיפוע הממוצע.

עבור שיטה מסדר n:

כאשר ישנם n נעלמים:

  • עבור בעיה מסדר שני:

תנאים לפרמטרים:


- לפי אוילר המשופר:

- לפי נקודה מרכזית:


  • ניתן לפתור מד"ר מסדר גבוה ע"י הגדרת הבעיה מחדש במערכת משוואות מסדר I:

נפתור n משוואות מסדר I


  • דוגמא למד"ר מסדר II:

תנאי התחלה:


ג) בעיית מערכת משוואות דיפרנציאליות:

  • צורה כללית:


  • תנאי התחלה:

  • הפתרון: n פונקציות

  • שיטת הפתרון: נבצע אוילר מפורש לכל אחת מהמשוואות:

  • בכתיב מטריציאלי:

- הבעיה:

- הפתרון:


3) בעיית תנאי שפה:

  • צורה כללית:
  • תנאי התחלה:

הערכים של תנאי ההתחלה אינם באותה נקודה כמו שהיה עד כה.


1) שיטת shooting method - ניחוש ותיקון ערכים התחלתיים.

  • שלבי פתרון:
1) הנח תנאים התחלתיים.
2) פתרון בעיית הערך ההתחלתי.
3) חישוב תנאי הגבול שהתקבלו.
4) תיקון התנאים ההתחלתיים.
5) חזרה לשלב 2 בלולאה.


  • כיצד מתקנים את התנאים ההתחלתיים? (שלב 4)

- מנחשים תנאים התחלתיים (שלב 1) ומתאימים עקום אינטרפולציה לשם תיקונם.

- פותרים את המשוואה הלא לינארית

כאשר BC הוא תנאי הגבול - boundry conditions

ו- I הוא עקום האינטרפולציה של התנאים ההתחלתיים שניחשנו


2) שיטת ההפרשים הסופיים

  • נבטא את הנגזרת השניה באמצעות "קירוב לנגזרת שנייה" (מפרק גזירה נומרית)

  • משוואה זו מוגדרת עבור הנקודות הפנימיות בלבד ולא עבור נקודות שפה (כי היא מצריכה גם צעד קדימה וגם צעד אחורה) ולכן עבור n+1 משתנים תתקבלנה n-1 משוואות.

- נקודה 1

- נקודה n-1

  • דרושות עוד 2 משוואות לפתרון:

- מקרה I: תנאי דריכילה: מוסיפים את שני תנאי השפה למשוואות:

- מקרה II: תנאי ניומן: תנאי גבול הנתונים באמצעות נגזרות:

  • מוסיפים שתי משוואות שהן קירוב לנגזרת:

1. קירוב קדמי/ אחורי:

חסרון: שגיאת הקיטוע גדולה יותר:

2. קירוב נגזרת מרכזית:

חסרון: עלי להוסיף 2 משוואות כי נוספים כעת שני נעלמים:

הופכות להיות נקודות פנימיות.

נקודת דמי: חישוב נקודה נוספת מעבר לגבול

נוספו 2 משוואות מתנאי הגבול אבל נוספו 2 נעלמים חדשים ולכן יש צורך בעוד 2 משוואות:

\

3. קירוב קדמי או אחורי עם שגיאה מסדר גבוה יותר.

מתקבל על ידי קירוב טיילור מסדר II

וקירוב אחרוי לנגזרת השניה.

חסרון: פוגע במבנה התלת אלכסוני של המטריצה שיש לפתור אח"כ (מערכת המשוואות).

  • לאחר שביטאנו n+1 משוואות עבור n+1 נעלמים, ניתן ליצור מטריצה תלת אלכסונית ולפתור באמצעות אלגוריתם תומאס.