הקדמה:
- באמצעות איטרציות נרצה למצוא פתרון (שורשים) של משוואה.
- ההנחה:
- פונקציה רציפה.
מתי:
- כאשר הפתרון האנליטי לא קיים או קשה לחישוב.
- כשלב בפתרון בעיות מורכבות יותר.
שיטות פתרון:
א) שיטות תחום:
1) חציית התחום.
2) אינטרפולציה לינארית.
ב) שיטות פתוחות:
1) ניוטון-רפסון.
2) חיתוך.
3) איטרציות רצופות.
א) שיטת תחום:
1) חציית התחום:
התקדמות על גרף הפונקציה עד מציאת שינוי סימן בין
.
אז, בודקים את ערך הפונקציה במרכז
והמשך צמצום המרווח פי 2 עד להגעה לפתרון הקרוב ביותר לפי הקירוב הרצוי.
1) מנחשים 2 פתרונות התחלתיים כך שסימני
הפוכים.
2) מבצעים איטרציות עוקבות
3) אם
אז
אם
אז
תיאור גרפי:
פתרון התחלתי:
4) אם
אז
הוא הפתרון המבוקש ויש לעצור את האיטרציות.
התכנסות:
הוא השגיאה בכל איטרציה 
- בכל איטרציה תחום הפתרון קטן בחצי ולכן ניתן לרשום:

- מדובר בקצב התכנסות לינארי

- ניתן לדעת מראש את מספר האיטרציות הדרוש להשגת הדיוק הנדרש:
כאשר:
- הדיוק הנדרש מאיתנו
- גודל התחום הראשון
n - מספר האיטרציות
נחלץ את n (מספר האיטרציות):
יתרונות השיטה:
- איטרציות פשוטות מאוד.
- מספר האיטרציות הדרוש ידוע מראש.
- התכנסות מכל פתרון התחלתי.
- מקבלים גבולות תחום לפתרון בכל איטרציה.
חסרונות השיטה:
- דרושים 2 פתרונות התחלתיים.
- ההתכנסות הלינארית איטית יחסית.
- אינו מנצל מידע על הפונקציה.
2) שיטת האינטרפולציה הלינארית
דומה לשיטת חציית התחום, השוני הוא באופן חישוב הנקודה החדשה
.
נבצע אינטרפולציה לינארית של 2 הפתרונות הנוכחיים, קירוב לינארי של f(X) וחיפוש השורש של הקירוב.
* משוואת הישר:
עבור 2 נקודות
נרצה למצוא את הישר המחבר בינהן
נקודת החיתוך של ישר זה עם ציר X:
1) נמצא שני פתרונות התחלתיים
כך ש:
2) נחשב פתרון חדש (שהוא החיתוך עם ציר X של הישר המחבר בין 2 פתרונות התחלתיים אל:
3) נחשב את
4) עדכון הפתרון:
- אם
אז
הוא הפתרון המבוקש.
- אם
אז 
- אם
אז 
- השיטה לא עובדת עבור פונקציות "שטוחות":
ההפרש בין
יהיה קטן, יתאים לתנאי
ויגרום למציאת פתרון שגוי.
התכנסות:
- עבור פונקציה קמורה/ קעורה ההתקדמות איטית.
- קצב ההתכנסות דומה לזה של שיטת חציית התחום.
- לא ניתן לקבוע מראש את מספר האיטרציות הדרוש להשגת דיוק נדרש.
ב) שיטות פתוחות
1) שיטת ניטון-רפסון:
- נעביר משיק לפונקציה בנקודה
,
תוגדר כנקודת חיתוך המשיק עם ציר x.
- נפתח ביטוי למשיק ע"י קירוב טיילור מסדר ראשון:
- קירוב למשיק
- נחשב את נקודת החיתוך עם ציר x של קירוב זה:
- הפתרון עלול להתבדר כאשר הנגזרת הראשונה קרובה לאפס:
כאשר:
- הוא הפתרון האמיתי - לא ידוע.
- השגיאה באיטרציה n+1.
- קצב ההתכנסות ריבועי (R=2)
- הפתרון עלול לא להתכנס כאשר
בסביבת הפתרון.
2) שיטת החיתוך:
- בשיטת ניוטון-רפסון נאלצנו לחשב נגזרת - כעת נחפש קירוב אחר לביטוי השיפוע.
- נשתמש בשני הפתרונות האחרונים שחושבו ונמתח בינהם מיתר.
שיפוע המיתר:
- נציב ביטוי זה באיטרציה הכללית של ניוטון-רפסון:
- משתמשים בשני הפתרונות האחרונים ולא בקצוות התחום.
- מדובר בביטוי זהה כמו בשיטת האינטרפולציה הלינארית: מחושב שיפוע המיתר במקום שיפוע המשיק.
- בדומה לשיטת ניוטון-רפסון הפתרון עלול להתבדר:
- התכנסות: נפתח ביטוי לשגיאה עבור האיטרציה ה- n+1 (בדומה לשיטת ניוטון-רפסון):

כאשר:
- הפתרון האמיתי והלא ידוע.
- הגדרת השגיאה.
- R > 1 : מדובר בהתכנסות סופר-לינארית.
- אם
אז השיטה קורסת.
3) שיטת האיטרציות הרצופות - משמשת לבעיות מסובכות במיוחד.
- נגדיר פונקציה חדשה
שתהיה טרנספורמציה לבעיה הנתונה
.
- ניתן לבצע את הטרנספורמציה בדרכים רבות:
- האיטרציה תבוצע לפי המשוואה:
1) נמצא פתרון התחלתי
2) עדכון הפתרון:
- ההתכנסות של השיטה לינארית רק כאשר
- תנאי להתכנסות
- השגיאה באיטרציה ה- n+1