מבוא לשיטות נומריות/גזירה נומרית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הקדמה:

- אפשרי רק עבור נקודה נתונה, מוצאים ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה הנתונה.

מתי:

- כאשר הנגזרת מסובכת.

- כאשר מקבלים ערכים בדידים ולא פונקציה מפורשת (כמו בניסויים, לדוגמא).

- כאשר רוצים (בהמשך) לפתור מד"ר באופן נומרי.


שיטות:

א) שיטות הפרשים סופיים:

1) הפרשים קדמיים.
2) הפרשים אחוריים.
3) הפרשים מרכזיים.
4) אקסטרפולציית ריצ'רדסון.

ב) נושאים נוספים:

1) קירוב לנגזרת שניה.
2) נגזרות מסדר גבוה.
3) נגזרות לנתונים במרווחים לא שווים.


א) הפרשים סופיים

מבצעים קירוב טיילור מדרגה ראשונה

(צעד קדמי)

(צעד אחורי)

1) הפרשים קדמיים: בשיטה זו נבודד את מתוך ביטוי לצעד קדמי:

 


2) הפרשים אחוריים: בשיטה זו נבודד את מתוך ביטוי לצעד אחורי:

 


  • שגיאת קיטוע.

ניתן לראות שבשתי שיטות אילו שגיאת הקיטוע גדלה ככל ש- h גדל.


3) הפרשים מרכזיים: בשיטה זו נבצע קירוב טיילור מדרגה שניה בצעד קדמי ובצעד אחורי, נשווה בינהם ונבודד את .

  • קירוב טיילור מדרגה שניה:

צעד קדמי:

צעד אחורי:

כאשר היא השגיאה.


  • נחסיר :

  • נחלץ את :
קירוב מרכזי: 


  • ניתן לראות ויזואלית שהנגזרת המרכזית הכי קרובה לנגזרת האמיתית, ולכן מהווה שיטה 3 קירוב טוב יותר.


  • לשיפור השיטה והקטנת שגיאת הקיטוע יש להקטין את גודל הצעד h. צעד קטן מדי גם יתן שגיאה גדולה בשל שגיאות עיגול במחשב.

4) אקסטרפולציית ריצ'רדסון

  • משווים בין 2 קירובים של טורי טיילור: אחד עם גודל צעד , ואחד עם גודל צעד , בהנחה ש- .
מתקבל: 

- גודל נגזרת מרכזית בנקודה x עם צעד h/2.

- נגזרת מרכזית בנקודה x עם צעד h.

  • יתרון השיטה: מאפשרת שיפור הדיוק ללא הקטנת גודל הצעד. באופן זה בוחרים h כלשהו ומציבים:

ב) נושאים נוספים:

1) קירוב לנגזרת שניה:

  • נפתח טור טיילור מסדר שלישי:

צעד קדמי:

צעד אחורי:

נגזרת מסדר שני: 

2) נגזרות מסדר גבוה

  • בשיטה זו נגזור קירובים של נגזרות מסדר נמוך יותר.

ביטוי מקורב לנגזרת מסדר III: 


3) נגזרות לנתונים במרווחים לא שווים:

  • שימוש: כאשר נתונות תוצאות ניסוי או תצפיות ולא פונקציה מפורשת.
  • בשלב ראשון מתאימים עקום לתוצאות ע"י אינטרפולציה ומחשבים את נגזרות העקום המקורב, בשיטת ההפרשים הסופיים.