מבוא לשיטות נומריות/גזירה נומרית

הקדמה:

- אפשרי רק עבור נקודה נתונה, מוצאים ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה הנתונה.

מתי:

- כאשר הנגזרת מסובכת.

- כאשר מקבלים ערכים בדידים ולא פונקציה מפורשת (כמו בניסויים, לדוגמא).

- כאשר רוצים (בהמשך) לפתור מד"ר באופן נומרי.

שיטות:

א) שיטות הפרשים סופיים:

1) הפרשים קדמיים.

2) הפרשים אחוריים.

3) הפרשים מרכזיים.

4) אקסטרפולציית ריצ'רדסון.

ב) נושאים נוספים:

1) קירוב לנגזרת שניה.

2) נגזרות מסדר גבוה.

3) נגזרות לנתונים במרווחים לא שווים.

א) הפרשים סופיים

מבצעים קירוב טיילור מדרגה ראשונה

(צעד קדמי) $f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{″}(c_1)x<c_1<x+h$

(צעד אחורי) $f(x-h)=f(x)-h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{″}(c_2)x-h<c_2<x$

1) הפרשים קדמיים: בשיטה זו נבודד את $f^{\prime }(x)$ מתוך ביטוי לצעד קדמי:

 $f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{h}{2}{f}^{″}(c_1)$

2) הפרשים אחוריים: בשיטה זו נבודד את $f^{\prime }(x)$ מתוך ביטוי לצעד אחורי:

 $f^{\prime }(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}+\frac{h}{2}{f}^{″}(c_2)$

• $O(h)=\pm \frac{h}{2}{f}^{″}(c_2)$ שגיאת קיטוע.

ניתן לראות שבשתי שיטות אילו שגיאת הקיטוע גדלה ככל ש- h גדל.

3) הפרשים מרכזיים: בשיטה זו נבצע קירוב טיילור מדרגה שניה בצעד קדמי ובצעד אחורי, נשווה בינהם ונבודד את $f^{″}(x)$.

• קירוב טיילור מדרגה שניה:

צעד קדמי: $(I)f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{″}(x)+O(h^3)$

צעד אחורי: $(II)f(x-h)=f(x)-h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{″}(x)+O(h^3)$

כאשר $O(h^3)$ היא השגיאה.

• נחסיר $(I)-(II)$:

$f(x+h)-f(x-h)=2h{f}^{\prime }(x)+O(h^3)$

• נחלץ את $f^{\prime }(x)$:

קירוב מרכזי: $f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)$

$O(h^3)=\left|\frac{h^3}{6}{f}^{‴}\right|$

• ניתן לראות ויזואלית שהנגזרת המרכזית הכי קרובה לנגזרת האמיתית, ולכן מהווה שיטה 3 קירוב טוב יותר.

• לשיפור השיטה והקטנת שגיאת הקיטוע יש להקטין את גודל הצעד h. צעד קטן מדי גם יתן שגיאה גדולה בשל שגיאות עיגול במחשב.

4) אקסטרפולציית ריצ'רדסון

• משווים בין 2 קירובים של טורי טיילור: אחד עם גודל צעד $h_1$, ואחד עם גודל צעד $h_2<h_1$, בהנחה ש- $h_2\cong h_1$.

מתקבל: $f^{\prime }(x)=\frac{4}{3}f{\text{'}}_{h/2}(x)-\frac{1}{3}f{\text{'}}_h(x)$

$f{\text{'}}_{h/2}$ - גודל נגזרת מרכזית בנקודה x עם צעד h/2.

$f{\text{'}}_h$ - נגזרת מרכזית בנקודה x עם צעד h.

• יתרון השיטה: מאפשרת שיפור הדיוק ללא הקטנת גודל הצעד. באופן זה בוחרים h כלשהו ומציבים:

$\{\begin{array}{c}f{\text{'}}_h(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\\ f{\text{'}}_{h/2}(x)=\frac{f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})}{2\frac{h}{2}}\end{array}$ $f^{\prime }(x)=\frac{4}{3}f{\text{'}}_{h/2}(x)-\frac{1}{3}f{\text{'}}_h(x)\Leftarrow$

ב) נושאים נוספים:

1) קירוב לנגזרת שניה:

• נפתח טור טיילור מסדר שלישי:

צעד קדמי: $(I)f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{″}(x)+\frac{h^3}{3!}{f}^{‴}(x)+O(h^4)$

צעד אחורי: $(I)f(x-h)=f(x)-h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{″}(x)-\frac{h^3}{3!}{f}^{‴}(x)+O(h^4)$

נגזרת מסדר שני: $(I)+(II)\Rightarrow \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+O(h^2)=f^{″}(x)$

2) נגזרות מסדר גבוה

• בשיטה זו נגזור קירובים של נגזרות מסדר נמוך יותר.

$f^{‴}(x)=\frac{2}{2x}{f}^{″}(x)$

$=\frac{2}{2x}\left[\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}\right]$

ביטוי מקורב לנגזרת מסדר III: $f^{‴}(x)=\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^3}$

3) נגזרות לנתונים במרווחים לא שווים:

• שימוש: כאשר נתונות תוצאות ניסוי או תצפיות ולא פונקציה מפורשת.

• בשלב ראשון מתאימים עקום לתוצאות ע"י אינטרפולציה ומחשבים את נגזרות העקום המקורב, בשיטת ההפרשים הסופיים.