מבוא לשיטות נומריות/אינטגרציה נומרית
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
הקדמה[עריכה]
אפשרי רק עבור אינטגרלים מסוימים (גבולות אינטגרציה נתונים). מתי:
- כאשר יש לפתור אינטגרל מסובך או כאשר לא קיים פתרון אנליטי (לדוגמא .
- העדר פונקציה קדומה.
- הפונקציה נתונה ע"י ערכים בדידים ולא כפונקציה מפורשת (כמו בניסויים לדוגמא).
שיטות[עריכה]
- ניוטון-קוטס:
- שיטת הטרפז
- שיטת סימפסון
- שיטות נוספות לאינטגרלים מרובים.
- אינטגרלים מרובים:
- שיטת אינטגרציה בסימולציה.
שיטות ניוטון-קוטס[עריכה]
מחליפים את הפונקציה (או הנקודות) הנתונה בקירוב פשוט יותר, ומבצעים אינטגרציה של הפונקציה המקורבת.
הקירוב נעשה ע"י אינטרפולציה פולינומיית ויש להחליט איזה עקום הכי קרוב לפונקציה המקורית.
שיטת הטרפז: ביצוע קירוב לפונקציה על ידי עקום מסדר 1 (קו ישר)[עריכה]
- מחלקים את הקטע [a,b] ל-n קטעים שווים.
- ככל שנגדיל את n, אז h יקטן והדיוק יגדל. - גודל הקפיצה
- שטח כל טרפז הוא:
- כעת ניתן להגדיר:
- נפתח את הביטוי ונקבל ביטוי פשוט יותר:
- השגיאה:
- - השגיאה בכל מקטע
- - השגיאה הכוללת
ניתן לראות שהשגיאה קטנה ככל ש- n גדל.
שיטת סימפסון[עריכה]
ביצוע קירוב לפונקציה ע"י אינטרפולציה ריבועית (עקום מסדר 2).
- דרך כל 3 נקודות מקרבים את הפונקציה באמצעות פולינום מסדר 2 ומחשבים את האינטגרל, באמצעות שיטת לגראנז'.
- מתחת לכל קירוב 3 נקודות ו-2 קטעים, ולכן n חייב להיות זוגי.
- גודל הקפיצה
שטח כל מקטע[עריכה]
- - לפי לגראנז'
בכחול -
באדום -
בירוק -
- השטח הכולל:
- השגיאה:
- עבור מקטע בודד
האינדקס (4) מציין נגזרת.
- - השגיאה הכוללת
שיטות נוספות[עריכה]
ביצוע קירוב לפונקציה ע"י פולינום מדרגה שלישית ומעלה.
- עבור פולינום מדרגה שלישית:
4 נקודות במרווחים שווים.
אינטגרלים מרובים[עריכה]
אינטגרלים כפולים (לא יעיל לאינטגרלים מסדר גבוה יותר).
- כעת נדרוש נקודות.
- מספר הנקודות עולה בחזקת סדר האינטגרל: אינטגרל ב-10 ממדים ידרוש נקודות, ולכן מאלץ אותנו ל- חישובים ולכן לא יעיל.
שיטת האינטגרציה בסימולציה[עריכה]
- נגדיר:
- נבחר: שתהיה פונקציית צפיפות הסתברות.
- אפשרות ל- :
- התפלגות אחידה
- התפלגות משתנים אקראיים.
- יצירת מספרים אקראיים מתוך , וחישוב ערכי הפונקציות עבור כל מספר אקראי.
- חישוב האינטגרל באמצעות:
- הסבר: אנו מחשבים ערכים אקראיים ב- בין a ל-b. אם נעשה ממוצע של כל סכומי הערכים הללו נקבל תוצאה יחסית מדויקת ל-I. הכפלת כל ערך בערך התפלגותו הסטטיסטי יוצר ממוצע משוקלל ומדויק יותר לסכום הערכים האקראיים.