מבוא לשיטות נומריות/אינטגרציה נומרית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הקדמה[עריכה]

אפשרי רק עבור אינטגרלים מסוימים (גבולות אינטגרציה נתונים). מתי:

  • כאשר יש לפתור אינטגרל מסובך או כאשר לא קיים פתרון אנליטי (לדוגמא .
  • העדר פונקציה קדומה.
  • הפונקציה נתונה ע"י ערכים בדידים ולא כפונקציה מפורשת (כמו בניסויים לדוגמא).

שיטות[עריכה]

  1. ניוטון-קוטס:
    • שיטת הטרפז
    • שיטת סימפסון
    • שיטות נוספות לאינטגרלים מרובים.
  2. אינטגרלים מרובים:
    • שיטת אינטגרציה בסימולציה.

שיטות ניוטון-קוטס[עריכה]

מחליפים את הפונקציה (או הנקודות) הנתונה בקירוב פשוט יותר, ומבצעים אינטגרציה של הפונקציה המקורבת.

הקירוב נעשה ע"י אינטרפולציה פולינומיית ויש להחליט איזה עקום הכי קרוב לפונקציה המקורית.

שיטת הטרפז: ביצוע קירוב לפונקציה על ידי עקום מסדר 1 (קו ישר)[עריכה]

  • מחלקים את הקטע [a,b] ל-n קטעים שווים.
  • ככל שנגדיל את n, אז h יקטן והדיוק יגדל. - גודל הקפיצה
  • שטח כל טרפז הוא:
  • כעת ניתן להגדיר:
  • נפתח את הביטוי ונקבל ביטוי פשוט יותר:
  • השגיאה:
- השגיאה בכל מקטע
- השגיאה הכוללת

ניתן לראות שהשגיאה קטנה ככל ש- n גדל.

שיטת סימפסון[עריכה]

ביצוע קירוב לפונקציה ע"י אינטרפולציה ריבועית (עקום מסדר 2).

  • דרך כל 3 נקודות מקרבים את הפונקציה באמצעות פולינום מסדר 2 ומחשבים את האינטגרל, באמצעות שיטת לגראנז'.
  • מתחת לכל קירוב 3 נקודות ו-2 קטעים, ולכן n חייב להיות זוגי.

- גודל הקפיצה

שטח כל מקטע[עריכה]

- לפי לגראנז'

בכחול -

באדום -

בירוק -

  • השטח הכולל:
  • השגיאה:
עבור מקטע בודד

האינדקס (4) מציין נגזרת.

- השגיאה הכוללת

שיטות נוספות[עריכה]

ביצוע קירוב לפונקציה ע"י פולינום מדרגה שלישית ומעלה.

  • עבור פולינום מדרגה שלישית:

4 נקודות במרווחים שווים.

אינטגרלים מרובים[עריכה]

אינטגרלים כפולים (לא יעיל לאינטגרלים מסדר גבוה יותר).

  • כעת נדרוש נקודות.
  • מספר הנקודות עולה בחזקת סדר האינטגרל: אינטגרל ב-10 ממדים ידרוש נקודות, ולכן מאלץ אותנו ל- חישובים ולכן לא יעיל.

שיטת האינטגרציה בסימולציה[עריכה]

  • נגדיר:
  • נבחר: שתהיה פונקציית צפיפות הסתברות.
  • אפשרות ל-  :

- התפלגות אחידה

- התפלגות משתנים אקראיים.

  • יצירת מספרים אקראיים מתוך , וחישוב ערכי הפונקציות עבור כל מספר אקראי.
  • חישוב האינטגרל באמצעות:
  • הסבר: אנו מחשבים ערכים אקראיים ב- בין a ל-b. אם נעשה ממוצע של כל סכומי הערכים הללו נקבל תוצאה יחסית מדויקת ל-I. הכפלת כל ערך בערך התפלגותו הסטטיסטי יוצר ממוצע משוקלל ומדויק יותר לסכום הערכים האקראיים.