אפשרי רק עבור אינטגרלים מסוימים (גבולות אינטגרציה נתונים). מתי:
כאשר יש לפתור אינטגרל מסובך או כאשר לא קיים פתרון אנליטי (לדוגמא
∫
0
1
e
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}e^{-x^{2}}dx}
העדר פונקציה קדומה.
הפונקציה נתונה ע"י ערכים בדידים ולא כפונקציה מפורשת (כמו בניסויים לדוגמא). ניוטון-קוטס:
שיטת הטרפז
שיטת סימפסון
שיטות נוספות לאינטגרלים מרובים.
אינטגרלים מרובים:
שיטת אינטגרציה בסימולציה. שיטות ניוטון-קוטס [ עריכה ] מחליפים את הפונקציה (או הנקודות) הנתונה בקירוב פשוט יותר, ומבצעים אינטגרציה של הפונקציה המקורבת.
הקירוב נעשה ע"י אינטרפולציה פולינומיית ויש להחליט איזה עקום הכי קרוב לפונקציה המקורית.
שיטת הטרפז: ביצוע קירוב לפונקציה על ידי עקום מסדר 1 (קו ישר) [ עריכה ] מחלקים את הקטע [a,b] ל-n קטעים שווים. ככל שנגדיל את n, אז h יקטן והדיוק יגדל.
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}
S
=
(
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
2
)
⋅
h
{\displaystyle S=\left({\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}\right)\cdot h}
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
{
sum of all trapezoids from
x
0
until
x
n
}
=
∑
k
=
0
n
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
2
h
{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\{{\text{sum of all trapezoids from}}\ x_{0}\ {\text{until}}\ x_{n}\}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}h}
נפתח את הביטוי ונקבל ביטוי פשוט יותר:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
h
2
∑
k
=
0
n
[
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
]
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx={\frac {h}{2}}\sum _{k=0}^{n}{\big [}f(x_{k})+f(x_{k+1}){\big ]}}
=
h
2
[
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
+
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
3
)
+
⋯
]
{\displaystyle ={\frac {h}{2}}{\Big [}f(x_{0})+f(x_{1})+f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+f(x_{3})+\cdots {\Big ]}}
=
h
2
[
f
(
x
0
)
+
f
(
x
n
)
+
2
∑
k
=
1
n
−
1
f
(
x
k
)
]
{\displaystyle ={\frac {h}{2}}\left[f(x_{0})+f(x_{n})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})\right]}
E
k
=
−
1
12
f
″
(
c
)
(
x
k
−
x
k
−
1
)
2
n
3
x
k
−
1
≤
c
≤
x
k
{\displaystyle E_{k}=-{\frac {1}{12}}f''(c){\frac {(x_{k}-x_{k-1})^{2}}{n^{3}}}\quad x_{k-1}\leq c\leq x_{k}}
E
I
=
−
(
b
−
a
)
3
12
n
2
f
¯
″
{\displaystyle E_{I}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}{\bar {f}}''}
ניתן לראות שהשגיאה קטנה ככל ש- n גדל.
שיטת סימפסון [ עריכה ] ביצוע קירוב לפונקציה ע"י אינטרפולציה ריבועית (עקום מסדר 2).
דרך כל 3 נקודות מקרבים את הפונקציה באמצעות פולינום מסדר 2 ומחשבים את האינטגרל, באמצעות שיטת לגראנז'. מתחת לכל קירוב 3 נקודות ו-2 קטעים, ולכן n חייב להיות זוגי .
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}
שטח כל מקטע [ עריכה ]
S
=
∫
x
k
x
k
+
2
f
(
x
)
d
x
=
∫
x
k
x
k
+
2
f
^
(
x
)
d
x
{\displaystyle S=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}f(x)dx=\int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}{\hat {f}}(x)dx}
∫
x
k
x
k
+
2
=
[
(
x
−
x
k
+
1
)
(
x
−
x
k
+
2
)
(
x
k
−
x
k
+
1
)
(
x
k
−
x
k
+
2
)
⋅
f
(
x
k
)
+
(
x
−
x
k
)
(
x
−
x
k
+
2
)
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
x
k
+
1
−
x
k
+
2
)
⋅
f
(
x
k
+
1
)
+
(
x
−
x
k
)
(
x
−
x
k
+
1
)
(
x
k
+
2
−
x
k
)
(
x
k
+
2
−
x
k
+
1
)
⋅
f
(
x
k
+
2
)
]
{\displaystyle \int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}=\left[{\color {Blue}{\frac {(x-x_{k+1})(x-x_{k+2})}{(x_{k}-x_{k+1})(x_{k}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k})}+{\color {Red}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+2})}{(x_{k+1}-x_{k})(x_{k+1}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k+1})}+{\color {OliveGreen}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+1})}{(x_{k+2}-x_{k})(x_{k+2}-x_{k+1})}}\cdot f(x_{k+2})}\right]}
בכחול -
L
0
(
x
)
{\displaystyle L_{0}(x)}
באדום -
L
1
(
x
)
{\displaystyle L_{1}(x)}
בירוק -
L
2
(
x
)
{\displaystyle L_{2}(x)}
=
x
k
+
2
−
x
k
6
(
f
(
x
k
)
+
4
f
(
x
k
+
1
)
+
f
(
x
k
+
2
)
)
{\displaystyle ={\frac {x_{k+2}-x_{k}}{6}}{\big (}f(x_{k})+4f(x_{k+1})+f(x_{k+2}){\big )}}
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
{
sum area of all segments
}
=
∫
a
=
x
0
x
2
f
^
(
x
)
d
x
+
∫
x
2
x
4
f
^
(
x
)
d
x
+
⋯
+
∫
x
n
−
2
x
n
f
^
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\{{\text{sum area of all segments}}\}=\int \limits _{a=x_{0}}^{x_{2}}{\hat {f}}(x)dx+\int \limits _{x_{2}}^{x^{4}}{\hat {f}}(x)dx+\cdots +\int \limits _{x_{n-2}}^{x_{n}}{\hat {f}}(x)dx}
=
h
6
[
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
]
+
h
6
[
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
f
(
x
4
)
]
+
⋯
+
h
6
[
f
(
x
n
−
2
)
+
4
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
]
{\displaystyle ={\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2}){\Big ]}+{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4}){\Big ]}+\cdots +{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\Big ]}}
=
b
−
a
3
n
[
f
(
x
0
)
+
4
∑
k
=
1
,
3
,
5
…
n
−
1
f
(
x
k
)
+
2
∑
J
=
2
,
4
,
6
…
n
−
2
f
(
x
J
)
+
f
(
x
n
)
]
{\displaystyle ={\frac {b-a}{3n}}\left[f(x_{0})+4\sum _{k=1,3,5\ldots }^{n-1}f(x_{k})+2\sum _{J=2,4,6\ldots }^{n-2}f(x_{J})+f(x_{n})\right]}
E
k
=
−
h
5
90
f
(
4
)
(
c
)
x
k
≤
c
≤
x
k
+
2
{\displaystyle E_{k}=-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(c)\quad x_{k}\leq c\leq x_{k+2}}
האינדקס (4) מציין נגזרת.
E
k
=
−
h
5
90
f
(
4
)
(
c
)
(
b
−
a
)
5
a
≤
c
≤
b
{\displaystyle E_{k}=-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(c)(b-a)^{5}\quad a\leq c\leq b}
שיטות נוספות [ עריכה ] ביצוע קירוב לפונקציה ע"י פולינום מדרגה שלישית ומעלה.
עבור פולינום מדרגה שלישית:
I
=
x
3
−
x
0
8
[
f
(
x
0
)
+
3
f
(
x
1
)
+
3
f
(
x
2
)
+
f
(
x
3
)
]
{\displaystyle I={\frac {x_{3}-x_{0}}{8}}{\Big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3}){\Big ]}}
4 נקודות במרווחים שווים.
אינטגרלים מרובים [ עריכה ] אינטגרלים כפולים (לא יעיל לאינטגרלים מסדר גבוה יותר).
כעת נדרוש
n
2
{\displaystyle n^{2}}
I
=
∫
y
0
y
1
∫
x
0
x
1
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle I=\int \limits _{y_{0}}^{y_{1}}\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x,y)dxdy}
מספר הנקודות עולה בחזקת סדר האינטגרל: אינטגרל ב-10 ממדים ידרוש
n
1
0
{\displaystyle n^{1}0}
10
1
0
{\displaystyle 10^{1}0}
לא יעיל . שיטת האינטגרציה בסימולציה [ עריכה ] נגדיר:
I
=
∫
x
0
x
1
f
(
x
)
d
x
=
∫
x
0
x
1
f
(
x
)
g
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g(x)dx}
נבחר:
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
אפשרות ל-
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
- התפלגות אחידה
- התפלגות משתנים אקראיים.
יצירת מספרים אקראיים מתוך
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
g
(
x
)
,
f
(
x
)
{\displaystyle g(x),f(x)}
חישוב האינטגרל באמצעות:
I
=
∫
x
0
x
1
f
(
x
)
g
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
=
E
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
{\displaystyle I=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g(x)dx=E\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]}
I
=
1
R
∑
k
=
1
R
f
(
x
k
)
g
(
x
k
)
{\displaystyle I={\frac {1}{R}}\sum _{k=1}^{R}{\frac {f(x_{k})}{g(x_{k})}}}
הסבר: אנו מחשבים ערכים אקראיים ב-
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx={\frac {h}{2}}\sum _{k=0}^{n}{\big [}f(x_{k})+f(x_{k+1}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2c18ef8629474e603c5947b860f9f4003df9e1)
![{\displaystyle ={\frac {h}{2}}{\Big [}f(x_{0})+f(x_{1})+f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+f(x_{3})+\cdots {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aafe4da6c0348b4810a7f1a05ee730b7060fe6d)
![{\displaystyle ={\frac {h}{2}}\left[f(x_{0})+f(x_{n})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d5586e65cd7ca22054ab0a6dcc30b2b05f7f68)
![{\displaystyle \int \limits _{x_{k}}^{x_{k+2}}=\left[{\color {Blue}{\frac {(x-x_{k+1})(x-x_{k+2})}{(x_{k}-x_{k+1})(x_{k}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k})}+{\color {Red}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+2})}{(x_{k+1}-x_{k})(x_{k+1}-x_{k+2})}}\cdot f(x_{k+1})}+{\color {OliveGreen}{\frac {(x-x_{k})(x-x_{k+1})}{(x_{k+2}-x_{k})(x_{k+2}-x_{k+1})}}\cdot f(x_{k+2})}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24813e512af214efe905dbec516606f6dafa2ce)
![{\displaystyle ={\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2}){\Big ]}+{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4}){\Big ]}+\cdots +{\frac {h}{6}}{\Big [}f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33613f31029e3da30a7847a09bc0e9ed52efefa2)
![{\displaystyle ={\frac {b-a}{3n}}\left[f(x_{0})+4\sum _{k=1,3,5\ldots }^{n-1}f(x_{k})+2\sum _{J=2,4,6\ldots }^{n-2}f(x_{J})+f(x_{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e3396b98666e31174a126e27b31c988a3e4f68)
![{\displaystyle I={\frac {x_{3}-x_{0}}{8}}{\Big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3}){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1803a873098f42e7feedc4e8625e0a1f6ebceebd)
![{\displaystyle I=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g(x)dx=E\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c89b92f80fb50a00342e26e876201c94b551495)
