חשבון אינפיניטסימלי 1 (20474)/סדרות

הגדרת הגבול

אינטואיטיבית, מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו. הגדרה זו מעורפלת ואינה שימושית, שכן היא אינה מסבירה מה הכוונה ב"הולכים ומתקרבים". הגדרה מדויקת יותר תדרוש כי עבור כל סביבה של הגבול, ניתן למצוא איבר בסדרה, שהחל ממנו כל אברי הסדרה מצויים בתוך סביבה זו. דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים מספר טבעי (שיכול להיות גדול מאוד), כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו מספר נמצאים בתוך מרחק זה מהגבול.

על גבי הישר הממשי, המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של הפרשם, ועל כן משתמשים בו בהגדרה המתמטית.

הגדרה: תהא $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$‏ סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי $L$, או ש- $L$ הוא הגבול של הסדרה, ונסמן זאת $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ או בקיצור $a_{n}\to L$ אם לכל מספר ממשי $\varepsilon >0$ (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי $k$ כך שלכל $n$ המקיים $n>k$ מתקיים $|a_{n}-L|<\varepsilon$. יש לשים לב שהאינדקס $k$ תלוי ב- $\varepsilon$. ככל ש $\varepsilon$ יהיה קטן יותר, $k$ המתאים לו, עשוי להיות גדול יותר. לעתים מסמנים $k_{\varepsilon }$ במקום $k$ כדי להדגיש עובדה זו.

כיון שעד $k$ יש רק מספר סופי של אינדקסים אפשר לומר שעבור כל $\varepsilon$,‏ כמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ- $\varepsilon$ מהגבול- כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.