חשבון אינפיניטסימלי 1 (20474)/משפטים לבחינה סמסטר א (2015)

משפטים לבחינה סמסטר א' 2015

המשפטים ה"חשובים"

3.22 - הלמה של קנטור

נוכיח ש-$a_{n},b_{n}$ מונוטוניות וחסומות ולכן נקבל שהם מתכנסת
לפי אריתמטיקה נקבל שהגבולות של $a_{n},b_{n}$ שווים ונסמן אותם ב-$C$.
נראה שאם קיימת נקודה אחרת המוכלת בכל הקטעים אז לפי סנדביץ נקבל שהיא שווה גם ל-$C$

3.32 - בולצנו ויירשטראס

עלינו לתאר בנייה שבאמצעות הלמה של קנטור תתן לנו את הנדרש.
נחצה את הקטע כל פעם לשתיים ונבחר את הקטע הבא להיות התת-קטע שבו יש מספר אינסופי של איברים
נקבל שלפי קנטור קיימת נקודה אחת המוכלת בכל הקטעים והיא שווה לגבול של הקצוות נסמנו ב-L
נייצר סדרת אינדקסים עולה ממש ונקבל שקיים גבול חלקי של הסדרה ששוה ל-L כנדרש

3.36 - קריטריון קושי להתכנסות סדרה

כיוון ראשון-
נניח סדרה מתכנסת.
יהי אפסילון לפי שהסדרה מתכנסת קיים $N_{0}$ כך שלכל $n$ גדול ממנו מתקיים שהסדרה קרובה אפסילון חלקי חצי לגבול
נסתכל על $|a_{m}-a_{n}|$ נוסיף ונחסר L ונשתמש באי שיוויון המשולש להוכיח שהביטוי קטן מאפסילון.

כיוון שני-

נניח סדרת קושי
יהי אפסילון נוכיח תחילה שהיא חסומה לפי כך שהיא סדרת קושי
לפי 3.32 יש לה תת סדרה מתכנסת נסמן את הגבול ב-L
נוכיח כי הסדרה מתכנסת ל-L כאשר נשתמש ב-3.27 ואי שייון המשולש+ נבחר את האפסילון של ההנחה להיות אפסילון חלקי 2.

4.30 - היינה שקול לדלתא-אפסילון

כייון ראשון-
נניח מתקיים אפסילון דלתא ונראה היינה.

נראה שלכל אפסילון גדול מאפס ניתן למצוא $N_{0}$ כך שלכל n גדול ממנו מתקיים $|f(x_{n})-L|<epsilon$

לפי כך שהסדרה שואפת לאיקס אפס תמיד עבור אפסילון שווה לדלתא קיים $N_{0}$ כך שלכל n גדול ממנו הסדרה בסביבת דלתא של איקס אפס ולפי הגדרת הגבול זה גורר שהיא קטנה מאפסילון.
כיוון שני -
נניח היינה ונניח בשלילה לא אפסילון דלתא .
כלומר, קיים אפסילון אפס כך שלכל דלתא מתקיים שיש איזשהו איקס אפס שמקיים $|f(x_{0})-L|>epsilon$

בפרט זה מתקיים עבור דלתא שווה 1,1/2,1/3 וכו'.
יצרנו כך סדרה של איקס אן שמצד אחד לפי סנדביץ שואפת לאיקס אפס ולכן לפי היינה מתקיים שהיא שואפת ל-L ומצד שני לכל n היא רחוקה מסביבת אפסילון,סתירה.

5.29 - ערך הביניים

נניח קודם בה"כ שf(b) חיובי ו-f(a) שלילי.
נגדיר קטע "טוב"
נוכיח טענת עזר שתמיד אפשר למצוא קטע טוב
נחלק למקרים- או שמצאנו אפס או שמחפשים אינסוף פעמים
במקרה שהסדרה אינסופית נקבל לפי קנטור כי יש נקודה c ששווה לגבול של שתי הסדרות של הקצוות
נקבל מהרציפות שמצד אחד f(c) גדול שווה מאפס (נציב את an) ומצד שני קטן שווה מאפס(נציב bn) ולכן נקבל שהוא שווה לאפס.
בכל מקרה מצאנו נקודה ששווה לאפס.

5.48 - משפט קנטור

נניח בשלילה ש-f אינה רציפה במ"ש נקבל אפסילון אפס שלכל דלתא מקיים את שלילת התנאי
נבחר סדרת דלתא שווה לאחד חלקי אן נקבל שתי סדרות שהמרחק בין התמונות שלהן גדול מאפסילון אפס לפי כך שהן חסומות נבחר תת סדרה מתכנסת ונראה שהגבול של התת סדרה השנייה שווה לפי סנדוויץ נקבל מהרציפות את כך שהגבול של הפרש התמונות של תתי הסדרות שואף לאפס בסתירה להנחה כעת

8.10 - משפט דארבו

בה"כ נניח $f'(a)<f'(b)$.
כעת נגדיר $H(x)=f(X)-tx$ ונקבל $H'(x)=f'(x)-t$/ כעת אנו רוצים להוכיח שהנגזרת מתאפסת וסיימנו.
לפי ויירשטראס 2 נקבל שקיימות מינימום מקסימום לפונקציה בקטע. נוכיח שהוא לא מתקבל בקצוות
הסתירה תתקבל מכך שלכל נגזרת בקצה מצד אחד לפי הבחירה של הערכים הוא יהיה בסימן מסויים.
אם נניח שמתקבל מינ' מקס' בקצוות נקבל שהוא בסימן שונה לפי הגדרת הנגזרת.

8.14 - כלל לופיטל

יחידה 1

טענה 1.43

( אי שוויו ברנולי )-עמ' 53 ,הבהרה: ניתן לסלק את $NX^{2}$ מאחר וזה הצד הקטן באי שיוויון ולכן מספר חיובי לא ישנה משהו(כי להוריד מספר חיובי רק מקטין עוד יותר והופך את האי שיוויון לעוד יותר נכון).

טענה 1.47

עמ' 56 , הבהרה: מחלקים את ההוכחה ל2 שלבים,מקס' ומינ'(הוכחה זהה לכל אחד), עושים אינדוקציה וההוכחה היא שיש קבוצה בעלת N איברים עם מקס',פשוט וקל להוכיח על N+1 איברים

יחידה 2

משפט 2.12

עמ' 95 , הבהרה: אתה מניח בשלילה שהם שונים ואז על פי הגדרת הגבול לוקח את הN המקסימלי בין שתי הגבולות ומשם מתקיים אי שוויון המשלוש: $|L1-L2|<=|L1-E|+|E-L2|<E+E=2E<|L1-L2|$

משפט 2.16

עמ' 98 , הבהרה: לוקחים את הגדרת הגבול ורושמים, רושמים אחר כך AN-L+L באי שיוויון המשולש ומציבים בצד הימני את הגדרת הגבול, מגדירים M מקס' של כל האיברים והערך המוחלט של L ומוסיפים לM את 1, לפי אי שיוויון המשולש הסדרה תמיד קטנה מM ולכן חסומה.

משפט 2.22

עמ' 102 , הבהרה : נתון לנו כי קיים M שמקיים |bn| < M בנוסף לכך נתון לנו לכל e>0 קיים N טבעי כך שלכל n>N מתקיים |an| < e/M מכאן נובע כי לכל n > N מתקיים: |an * bn | = |an| * |bn| < e/M * M = e

למה 2.26 - עמ' 104 :תשובה עמ' 239 , הבהרה: נקרא לגבול של הסדרה L, הגבול שונה מ0 לפי הנתון, נגדיר את אפסילון כערך המוחלט של L נרשום את הגדרת הגבול ונציב את אפסילון, יתקיים שהסדרה שונה מ0 מאחר ואם היא שווה ל0 זה יסתור את הגדרת הגבול.

משפט 2.32 - עמ' 111 , הבהרה: נתון לנו שBN הוא בין או שווה ל2 סדרות אחרות, נגדיר את 2 הגבולות של הסדרות של AN וBN כL ולאחר מכן נרשום את הגדרת הגבול של כל אחת מהן בנפרד (נזכור לבודד את AN מהערך המוחלט ולדאוג ל2 הצדדים של השוויון משום שזהו ערך מוחלט),נגדיר N כמקס' שך 2 הN, נרשום את הצד השמאלי(AN קטן מ..) ואז מימינו שBN גדול שווה לAN לפי הנתון ואז את הצד הימני של CN, לסיום נוציא את AN וBN וקיבלנו הגדרת גבול זהה לשלהם ולכן BN עם גבול זהה).

משפט 2.43 (ה') - עמ' 120 סעיף ה' - פתרון עמ' 245 ,הבהרה: נגדיר ש AN קטן מ1 חלקי אפסילון, לכן 1 חלקי AN הוא בין אפסילון ל0(ובוודאי בערך מוחלט) לכן הגבול הינו 0. הערה: האי שיוויון שינה כיוון מאחר ועשינו 1 חלקי האי שיוויון המקורי מה שמחליף את כיוונו).

טענה 2.47 - עמ' 125 ,הבהרה: נפריד בין AN לR לאחר מכן נעשה אינדוקציה לכל האיברים ונגלה שכל איבר קטן שווה מA1 בחזק N פחות 1 לכן Aמ קטן שווה מA1 כפולה R בחזקת N פחות 1 וכמובן שגדול מ0, בהשאפה לאינסוף זה שווה 0 מאחר וR בין 1 ל0 ולכן AN ישאף ל0 גם...

משפט 2.51 - עמ' 128 , הבהרה: נחלק ל3 חלקים: חלק 1: נוכיח עבור L=0 , אם נקבע עבור AN אפסילון חלקי 2.. נרשום את נוסחת סדרת הממוצעים החשבונים ונפריד את החלקים בין הקטע שהאיברים קטנים מאפסילון חלקי 2(עד N1) ומN1 עד הסוף. נזכור שn קטןשווה תמיד מהאינדקס שקטן שווה תמיד מN1+1 ולכן נציב את CN באי שיוויון המשולש בצורה המחולקת שהגדרנו קודם ואז נוכל להגיד שהסכום מN1 ועד סופו קטנים מכמות האיברים שיש מN1 עד הסוף כפול הערך המקס' שלהם(אפסילון חלקי 2) נקבל שCN קטנה מהסכום של האיברים עד N1 חלקי n ועוד אפסילון חלקי 2. כעת נסתכל על הסכום חלקי n ונוכל להגיד כי הוא שואף ל0 באינסוף ולכן נוכל גם להגדיר אותו כקטן מאפסילון חלקי 2... נציב את זה באי שיוויון המשולש ממקודם לגבי BN ונקבל שBN קטן מאפסילון. משל! חלק 2: נמציא סדרה AN* הסדרה הזאת שווה לAN-L ולכן שואפת ל0 מאחר וAN שואפת לL נוציא את AN מהסדרה ונבדוק למה היא שואפת, נעביר את L אגף ונקבל שAN תשאף לL . משל. חלק 3: נקח M חיובי כך שמאיבר N1 מתקיים שAN גדול מ2M . נרשום את נוסחאת סדרת הממוצעים החשבונים BN ונקיים אי שיוויון לפיה הסכום מהאיבר הN1 עד הסוף גדול מההפרש שלהם כפול 2M (מאחר וכולם בהכרח גדול מ2M זה יתקיים). אם נשאיף את הצד הימני לאינסוף נקבל 2M לכן ניתן להגיד שהצד הימני בהכרח גדול מM ולכן אם נציב זאת באי השיוויון ממקודם נקבל שBN גדול מM

יחידה 3

טענה 3.10

עמ' 146-147 , הבהרה: נסמן חסם עליון של A וB כSA וSB , ברור לנו כי SA גדול שווה A וכי SB גדול שווה SB לכן אם נחבר נקבל שA+B קטן שווה SA+SB ולכן הוא חסם עליון של הקבוצה , כעת נוכיח שהוא החסם העליון הקטן ביותר. לצורך כך נרשום כי A גדול מSA פחות אפסילון חלקי 2, אותו הדבר בנוגע לB, אם נחבר את 2 האי שיוויונים נקבל שA+B גדול מחיבור SA+SB פחות אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה.

משפט 3.16

עמ' 151 , הבהרה:נסמן את L כSUPA (וכמובן שL הוא הגבול של A ). אנו יודעים שהסדרה גדולה מהגבול פחות אפסילון מN מסויים ושהסדרה קטנה או שווה לL (נרשום זאת באי שיוויון דו כיווני). ולכן היא כמובן גם קטנה מL ביחד עם אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה...(אותו הדבר גם לכיוון ההפוך).

משפט 3.17

עמ' 152 - פתרון עמ' 264 , הבהרה : L אינו חסם מלעיל של הקבוצה כי אם היה חסם אז AN היה קטן שווה לK והסדרה הייתה חסומה. לכן קיים איבר N שעבורו AN גדול מL ולכן לכל n שגדול מN מתקיים שAn גדול מAN גדול מL כנדרש מהגדרת של שאיפה לאינסוף.

משפט 3.22 ( הלמה של קנטור )

עמ' 162 -

משפט 3.30 - עמ' 175

משפט 3.32 ( בולצאנו-ויירשטראס ) - עמ' 178

משפט 3.36 - עמ' 181

למה 3.37 - עמ' 183

יחידה 4

משפט 4.30 - עמ' 66

משפט 4.39 - עמ' 76

יחידה 5

משפט 5.14 - עמ' 112

משפט 5.15 - עמ' 113

משפט 5.29 - עמ' 128

משפט 5.30 - עמ' 132

משפט 5.35 ( המשפט הראשו של ויירשטראס ) - עמ' 138

משפט 5.37 ( המשפט השני של ויירשטראס ) - עמ' 141

משפט 5.48 - עמ' 155

יחידה 6

טענה 6.16 - עמ' 181

יחידה 7

משפט 7.9 - עמ' 25

יחידה 8

משפט 8.4 ( משפט פרמה ) - עמ' 90

משפט ( 8.5 משפט רול ) - עמ' 94

משפט ( 8.6 משפט הער�ך הממוצע ) - עמ' 96

משפט 8.10 ( משפט דארבו ) - עמ' 104

משפט 8.12 - עמ' 108

משפט 8.14 ( כלל לופיטל ) - עמ' 110