לדלג לתוכן

חשבון אינפיניטסימלי 1 (20474)/טיפים וטריקים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

טיפים וטריקים[עריכה]

שאלות חשובות מהספרים[עריכה]

יחידה 3[עריכה]

שאלה 7: A קב' צפופה ב R, מתקיים sup( A ^ (a,b)) = b.

יחידה 4[עריכה]

שאלה 14: תהי f:I→R פונקציה מונוטונית בקטע I. במקרה זה f היא חד-חד ערכית. כלומר לכל ערך של x יש פתרון יחיד.
שאלה 68 כרך ב'( איקס גדול מסינוס איקס)

יחידה 5[עריכה]

שאלה 4 עמוד 107 כרך ב' (רציפות ערך שלם).

שאלה 44 (רציפות במ"ש בקטע מוכל)

שאלה 48 כרך ב' (רציפות במידה שווה עבור קטע חצי אינסופי): פונ' הרציפה בקרן, וקיים הגבול באינסוף. אזי רב"ש.

שאלה 49 כרך ב'(חיבור קטעים רציפים במ"ש): פונ' אשר רב"ש בקטעים I1, I2 ומתקיים min(I1) = max(I2) אזי הפונ' רב"ש באיחוד הקטעים.

יחידה 7[עריכה]

שאלה 19:

תהיינה ו- שתי פונקציות גזירות ב המקיימות :

הגדרת הפונקציה  :

כאשר , אז

כאשר , אז

א. k רציפה ב אם ורק אם =

ב. k גזירה ב אם ורק אם = וגם =

יחידה 8[עריכה]

שאלה 8,9 כרך ג' ( 9.א נגזרת חסומה גוררת רציפות במ"ש): פונ' אשר נגזרת חסומה בקטע, רב"ש בקטע.

שאלה 17: בין כל שתי נק' בנגזרת בהם היא מקבלת את הערך 0, הנגזרת אינה משנה את סימנה.

שאלה 28: f עולה במובן החלש בI אם ורק אם f'≥0 בפנים הקטע I

שאלה 29: f עולה במובן החזק בI אם ורק אם :

  • בכל x בקטע , f'≥0
  • f לא מתחלפת זהויתית באף תת קטע (יש מספר סופי של נקודות בהם f'=0 אבל אסור שיהיו צפופות באף תת-קטע)

סדרות מונוטוניות[עריכה]

עבור סדרה מונוטונית(עולה או יורדת)

סדרה עולה[עריכה]

אם הסדרה חסומה מלעיל במקרה של סדרה עולה אז היא מתכנסת ל-sup. אחרת שואפות לאינסוף.

סדרה יורדת[עריכה]

אם הסדרה חסומה מלרע במקרה של סדרה יורדת אז היא מתכנסת ל-inf. אחרת שואפות למינוס אינסוף

טריקים חשובים[עריכה]

בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1 יש הרבה פעמים הפרשים בין דברים. לדוגמה בהגדרת הגבול: לכל ε>0 קיים δ>0 כך שלכול x שמקיים δ>|x-x0|>0 מתקיים |ε>|f(x)-L אם ורק אם הגבול של f כאשר x שואף ל x0 שווה L. אך מה עושים אם f(x)= x^0.5? במקרה כזה צריך להשתמש בטריק שמביא לנו הכפל המקוצר. יש נוסחה של כפל מקוצר שאומרת את הדבר הבא: a-b)*(a+b)=a^2-b^2). לכן אם יש הפרש שורשים אפשר להכפיל מונה ומכנה ב a+b ולקבל משהו שאפשר לפשט.

משפטים לבחינה סמסטר א' 2015[עריכה]

יחידה 1[עריכה]

טענה 1.43[עריכה]

( אי שוויו ברנולי )-עמ' 53 ,הבהרה: ניתן לסלק את NX^2 מאחר וזה הצד הקטן באי שיוויון ולכן מספר חיובי לא ישנה משהו(כי להוריד מספר חיובי רק מקטין עוד יותר והופך את האי שיוויון לעוד יותר נכון).

טענה 1.47[עריכה]

עמ' 56 , הבהרה: מחלקים את ההוכחה ל2 שלבים,מקס' ומינ'(הוכחה זהה לכל אחד), עושים אינדוקציה וההוכחה היא שיש קבוצה בעלת N איברים עם מקס',פשוט וקל להוכיח על N+1 איברים

יחידה 2[עריכה]

משפט 2.12[עריכה]

עמ' 95 הבהרה: אתה מניח בשלילה שהם שונים ואז על פי הגדרת הגבול לוקח את הN המקסימלי בין שתי הגבולות ומשם מתקיים אי שוויון המשלוש |L1-L2|<=|L1-E|+|E-L2|<E+E=2E < |L1- L2|

משפט 2.16[עריכה]

עמ' 98 , הבהרה: לוקחים את הגדרת הגבול ורושמים, רושמים אחר כך AN-L+L באי שיוויון המשולש ומציבים בצד הימני את הגדרת הגבול, מגדירים M מקס' של כל האיברים והערך המוחלט של L ומוסיפים לM את 1, לפי אי שיוויון המשולש הסדרה תמיד קטנה מM ולכן חסומה.

משפט 2.22[עריכה]

עמ' 102 , הבהרה : נתון לנו כי קיים M שמקיים |bn| < M בנוסף לכך נתון לנו לכל e>0 קיים N טבעי כך שלכל n>N מתקיים |an| < e/M מכאן נובע כי לכל n > N מתקיים: |an * bn | = |an| * |bn| < e/M * M = e

למה 2.26 - עמ' 104 :תשובה עמ' 239 , הבהרה: נקרא לגבול של הסדרה L, הגבול שונה מ0 לפי הנתון, נגדיר את אפסילון כערך המוחלט של L נרשום את הגדרת הגבול ונציב את אפסילון, יתקיים שהסדרה שונה מ0 מאחר ואם היא שווה ל0 זה יסתור את הגדרת הגבול.

משפט 2.32 - עמ' 111 , הבהרה: נתון לנו שBN הוא בין או שווה ל2 סדרות אחרות, נגדיר את 2 הגבולות של הסדרות של AN וBN כL ולאחר מכן נרשום את הגדרת הגבול של כל אחת מהן בנפרד (נזכור לבודד את AN מהערך המוחלט ולדאוג ל2 הצדדים של השוויון משום שזהו ערך מוחלט),נגדיר N כמקס' שך 2 הN, נרשום את הצד השמאלי(AN קטן מ..) ואז מימינו שBN גדול שווה לAN לפי הנתון ואז את הצד הימני של CN, לסיום נוציא את AN וBN וקיבלנו הגדרת גבול זהה לשלהם ולכן BN עם גבול זהה).

משפט 2.43 (ה') - עמ' 120 סעיף ה' - פתרון עמ' 245 ,הבהרה: נגדיר ש AN קטן מ1 חלקי אפסילון, לכן 1 חלקי AN הוא בין אפסילון ל0(ובוודאי בערך מוחלט) לכן הגבול הינו 0. הערה: האי שיוויון שינה כיוון מאחר ועשינו 1 חלקי האי שיוויון המקורי מה שמחליף את כיוונו).

טענה 2.47 - עמ' 125 ,הבהרה: נפריד בין AN לR לאחר מכן נעשה אינדוקציה לכל האיברים ונגלה שכל איבר קטן שווה מA1 בחזק N פחות 1 לכן Aמ קטן שווה מA1 כפולה R בחזקת N פחות 1 וכמובן שגדול מ0, בהשאפה לאינסוף זה שווה 0 מאחר וR בין 1 ל0 ולכן AN ישאף ל0 גם...

משפט 2.51 - עמ' 128 , הבהרה: נחלק ל3 חלקים: חלק 1: נוכיח עבור L=0 , אם נקבע עבור AN אפסילון חלקי 2.. נרשום את נוסחת סדרת הממוצעים החשבונים ונפריד את החלקים בין הקטע שהאיברים קטנים מאפסילון חלקי 2(עד N1) ומN1 עד הסוף. נזכור שn קטןשווה תמיד מהאינדקס שקטן שווה תמיד מN1+1 ולכן נציב את CN באי שיוויון המשולש בצורה המחולקת שהגדרנו קודם ואז נוכל להגיד שהסכום מN1 ועד סופו קטנים מכמות האיברים שיש מN1 עד הסוף כפול הערך המקס' שלהם(אפסילון חלקי 2) נקבל שCN קטנה מהסכום של האיברים עד N1 חלקי n ועוד אפסילון חלקי 2. כעת נסתכל על הסכום חלקי n ונוכל להגיד כי הוא שואף ל0 באינסוף ולכן נוכל גם להגדיר אותו כקטן מאפסילון חלקי 2... נציב את זה באי שיוויון המשולש ממקודם לגבי BN ונקבל שBN קטן מאפסילון. משל! חלק 2: נמציא סדרה AN* הסדרה הזאת שווה לAN-L ולכן שואפת ל0 מאחר וAN שואפת לL נוציא את AN מהסדרה ונבדוק למה היא שואפת, נעביר את L אגף ונקבל שAN תשאף לL . משל. חלק 3: נקח M חיובי כך שמאיבר N1 מתקיים שAN גדול מ2M . נרשום את נוסחאת סדרת הממוצעים החשבונים BN ונקיים אי שיוויון לפיה הסכום מהאיבר הN1 עד הסוף גדול מההפרש שלהם כפול 2M (מאחר וכולם בהכרח גדול מ2M זה יתקיים). אם נשאיף את הצד הימני לאינסוף נקבל 2M לכן ניתן להגיד שהצד הימני בהכרח גדול מM ולכן אם נציב זאת באי השיוויון ממקודם נקבל שBN גדול מM

יחידה 3[עריכה]

טענה 3.10 - עמ' 146-147 , הבהרה: נסמן חסם עליון של A וB כSA וSB , ברור לנו כי SA גדול שווה A וכי SB גדול שווה SB לכן אם נחבר נקבל שA+B קטן שווה SA+SB ולכן הוא חסם עליון של הקבוצה , כעת נוכיח שהוא החסם העליון הקטן ביותר. לצורך כך נרשום כי A גדול מSA פחות אפסילון חלקי 2, אותו הדבר בנוגע לB, אם נחבר את 2 האי שיוויונים נקבל שA+B גדול מחיבור SA+SB פחות אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה.

משפט 3.16 - עמ' 151 , הבהרה:נסמן את L כSUPA (וכמובן שL הוא הגבול של A ). אנו יודעים שהסדרה גדולה מהגבול פחות אפסילון מN מסויים ושהסדרה קטנה או שווה לL (נרשום זאת באי שיוויון דו כיווני). ולכן היא כמובן גם קטנה מL ביחד עם אפסילון ולכן הוכחנו את הטענה...(אותו הדבר גם לכיוון ההפוך).

משפט 3.17 - עמ' 152 - פתרון עמ' 264 , הבהרה : L אינו חסם מלעיל של הקבוצה כי אם היה חסם אז AN היה קטן שווה לK והסדרה הייתה חסומה. לכן קיים איבר N שעבורו AN גדול מL ולכן לכל n שגדול מN מתקיים שAn גדול מAN גדול מL כנדרש מהגדרת של שאיפה לאינסוף.

משפט 3.22 ( הלמה של קנטור ) - עמ' 162: הרעיון שעומד מאחורי ההוכחה הוא הגדרת סדרת הקטעים ע"י שתי סדרות, האחד היא סדרה של הקצוות השמאליים של הקטעים, והשנייה של הימניים. כעט, מפני שהסדרות חסומות, אזי הן מתכנסות וגבולן שווה לפי הנתון. משם שוללים את ההנחה כי קיימת יותר מנק' אחת משותפת. וזהו :]

משפט 3.30 - עמ' 175

משפט 3.32 ( בולצאנו-ויירשטראס ) - עמ' 178 פה, ההוכחה היא פחות פורמלית ויותר אלגוריתמית (בדומה ללמה של קנטור ואפילו מתבססת עליה). מכך שהסדרה חסומה בקטע I, אנו ניצור סדרה של קטעים כך שכל קטע הוא מחצית מקודמו, ובחירת החצי היא לפי השיקול "באיזה חלק קיימים אינסוף איברים". כך יצרנו סדרת קטעים המקיימת את הלמה של קנטור ובעצם נחתכת לערך אחד ויחיד. כעט, ניתן ליצור סדרה של ערכים, כך שהאיבר ה-n לקוח מהקטע In. עושים סנדוויץ על הסדרה שיצרנו עם שתי הסדרות של קצוות הקטעים. בום!

משפט 3.36 - (קריטריון קושי להתכנסות) עמ' 181 הכיוון הראשון טריוויאלי ומסתמך על אי שוויון המשולש והגדרת הגבול. הכיוון השני מתחלק לשלושה שלבים, הראשון הוא ההוכחה כי הסדרה חסומה - בוחרים אפסילון = 1 ואת האיבר המקס' שנמצא לפני An, לפי אי שוויון המשולש ניתן להראות כי An קטן מ 1 + האיבר המקס' לפני An. חלק שני, BW לעזרתו טוען כי קיימת תת סדרה מתכנסת ל L, ז"א יש לסדרה לפחות גבול אחד. מפה נותר החלק השלישי והוא כל הסדרה An מתכנסת ל L ע"י אי שוויון המשולש והגדרת הגבול בלשון "אינסוף איברים".

למה 3.37 - עמ' 183

יחידה 4[עריכה]

משפט 4.30 - עמ' 66 (שקילות הגדרת הגבול בלשון סדרות <=> בלשון אפסילון) כיוון ראשון, נתון לשון אפסילון, נוכיח את היינה. אנו נרשום את הגדרת הגבול לכל אפסילון, קיים גמאה... לפי הנתון כי הסדרה מתכנסת ל x0 אזי קיים אינדקס שכל האיברים נמצאים בסביבות גמאה הקיימת, ומכך שגבול של סדרת הזזה שווה לגבול המקורי (עבור סדרות מתכנסות) סיימנו. הכיוון השני פחות נחמד, נתון כי היינה מתקיים ונניח בשלילה כי ההגדרה בלשון אפסילון אינה מתקיימת. ז"א קיים אפסילון קח שלכל גמאה.......... נשתמש ב "לכל גמאה" ונתאים לה את הסדרה 1/n, כעט ניצור סדרה Xn כך שכל איבר n שלה שייך לסביבה 1/n של x0. הסדרה מתכנסת, לכן מקיימת את הגדרת היינה, בסתירה להנחה כי הגדרת הגבול איזה מתקיימת.

משפט 4.39 - עמ' 76

יחידה 5[עריכה]

משפט 5.14 - עמ' 112

משפט 5.15 - עמ' 113

משפט 5.29 - עמ' 128 משפט זה הוא בעצם הבסיס לערך הביניים של קושי, רובו מסתמך על הלמה של קנטור וההנחיה היא כזאת: ללא הגבלת הכלליות נניח כי הערך ב f(a) שלילי וב f(b) חיובי, כעת ניצור סדרה של קטעים סגורים כך שכל הבא הוא מחצית מהקטע הקודם, את בחירת החצי אנו עושים לפי שמירה על החוקיות כי קצה אחד של הקטע שלילי והקצה השני חיובי. אם הגענו לנק' ובה אמצע הקטע In הוא אפס, אזי סיימנו, כי מזאת הוכח שקיים ערך בקטע הגדול ובו הפונ' מקבלת אפס. אחרת, יצרנו סדרת קטעים סגורים המקיימת את הלמה של קנטור! הגבול של הרכבת סדרת הקצוות הימנים על הפונ' יהיה גדול שווה לאפס (כי כל הקצוות הימניים חיוביים), והגבול של הרכבת סדרת הקצוות השמאלית על הפונ' יהיה קטן שווה לאפס (כי כל הקצוות השמאליים קטנים מאפס). לפי קנטור הגבולות שואפים לאותו ערך => אפס! שוב לפי קנטור, ערך זה נמצא בכל סדרת הקטעים, אז בוודאי שנמצא בקטע הגדול. מ.ש.ל.

משפט 5.30 - עמ' 132 ראשית, נבנה פונ' שהיא ההפרש בין הפונ' המקורית לבין הישר y=t. הפונ' שבנינו מקיימת את משפט ערך הביניים, לכן מקבל את הערך אפס בקטע, ומכך קל לראות כי הפונ' המקורית מקבלת את הערך t בקטע.

משפט 5.35 ( המשפט הראשו של ויירשטראס ) - עמ' 138 הוכחה זאת קל לכתוב בדרך השלילה, נניח כי הפונ' אינה חסומה בקטע... אזי לכל ערך N קיים Xn עבורו f(Xn) > N. אותה סדרה Xn שיצרנו חסומה בקטע, לכן לפי BW קיימת לה תת סדרה מתכנסת לערך שנמצא בקטע. מרציפות הפונ' ולפי היינה, הרכבת התת סדרה על הפונ' שואפת לערך תמונת הפונ' בנק' מסויימת בקטע. בסתירה להנחה!

  • חשוב להראות כי f(Xn) בערך מוחלט שואף לאינסוף, וכי השאיפה של התת סדרה בערך מוחלט שואפת לערך סופי.

משפט 5.37 ( המשפט השני של ויירשטראס ) - עמ' 141 תחילה, נשתמש במשפט ווירשסטראס הראשון כדי לומר שהפונ' חסומה, ומכך שהיא חסומה נסיק כי קיים לה חסם עליון מינ'. נגדיר סדרה של איברים בקטע על סמך תכונת החסם העליון, יתקיים: f(Xn) >= sup - 1/n לכל n. בנוסף מתקיים כי f(Xn) < sup לכל n. מאי שוויון נאמר כי הסדרה שואפת ל sup, ואנו קרובים לסיום. כעת, שוב BW בא לעזרתנו וטוען כי לסדרה שהגדרנו קיימת תת סדרה המתכנסת לערך הנמצא בקטע (כי היא חסומה). לכן הרכבת תת הסדרה על הפונ' שואפת ל sup, ומרציפות הפונ' נקבל כי עבור ערך ההתכנסות x0 מתקיים: f(x0) = sup. "מגעיל אבל משביע"

משפט 5.48 - עמ' 155 (משפט קנטור) נניח בשלילה כי לא מתקיימת רב"ש לפונ' בקטע הסגור, ז"א כי קיים אפסילון עבורו לכל גמאה.... כמו בהוכחות קודמות, נשתמש ב "לכל גמאה" ונדביק עליה את הסדרה 1/n, עבורה ניצור שתי סדרות של ערכים החסומות הקטע אשר מקיימות את שלילית ההגדרה של רב"ש. הגבול של הפרש הסדרות שואף לאפס! נזכור זאת ונפנה לתת סדרות המתכנסות עבור כל סדרה, מכך נסיק כי שתי התת סדרות מתכנסות לאותו גבול. ומרציפות הפונ' ולפי היינה נרכיב את התת סדרות על התנאי ששולל את הרב"ש. כאן אני מקבלים אפס, בסתירה לטענה כי אפסילון גדול מאפס וכי המשוואה גדולה מאפסילון. פאפאםםםםם.

משפט 5.49 - עמ' 157

יחידה 6[עריכה]

טענה 6.16 - עמ' 181

יחידה 7[עריכה]

משפט 7.9 - עמ' 25

יחידה 8[עריכה]

משפט 8.4 ( משפט פרמה ) - עמ' 90 ללא הגבלת הכלליות נניח כי נק' הקיצון x0 היא נק' מקס' מקומי, לכן נרשום את הגדרת הנגזרת ע"י גבול מימין ומשמאל. נפרק את ביטוי מגבולו, ולפי הגדרת המקס' המקומי נראה שמימין, לכל h חיובי, ערך המשוואה (ובעצם הנגזרת) צריך להיות קטן שווה לאפס. משמאל, לכל h שלילי, ערך המשוואה (ובעצם ערך הנגזרת) צריך להיות גדול שווה לאפס. ז"א שמימין, הנגזרת כגבול קטנה שווה לאפס, ומשמאל גדולה שווה לאפס. אך מגזירות הפונ' בקטע, הנגזרת כגבול מימין ומשמאל צריכות להיות שוות! ופה סיימנו.

משפט 8.5 (משפט רול ) - עמ' 94 ע"פ ווירשטראס השני לפונ' יש מינ' ומקס' בקטע. כאשר המינ' והמקס' מתקבלים בקצוות אזי הם שווים לפי נתון, מכך סיימנו כי הפונ' קבועה. כעת ניגש לבשרררר, אם לפחות אחת משתי הנק' (מקס' \ מינ') אינה מתקבלת בקצוות אזי היא מתקבלת בפנים הקטע. ולפי פרמה, בנק' זאת הנגזרת שווה לאפס. כיף חיים!

משפט 8.6 (משפט הערך הממוצע - לגראנג' ) - עמ' 96 נגדיר את פונ' הישר העובר שתי קצוות הפונ', על ידיו ניצור פונ' חדשה שהיא ההפרש בין הפונ' המקורית לפונ' הישר. הפונ' החדשה שיצרנו מקיימת את התנאי למשפט רול, לכן נגזרתה מקבלת את הערך אפס בקטע. מאריתמטיקה של נגזרות כל לראות כי גם הפונ' המקורית מקבלת את שיפוע פונ' הישר בקטע. מ.ש.ל.

משפט 8.10 ( משפט דארבו ) - עמ' 104 נגדיר t ערך בין f'(a) לבין f'(b), ללא הגבלת הכלליות נניח כי f'(a) < f'(b). ניצור פונ' חדשה = f(x) - tx. הפונ' החדשה שלנו מקבלת מינ' ומקס' בקטע, אם אחת הנק' אלו מתקבלת הפנים בקטע אזי לפי פרמה סיימנו. כעת נותר להוכיח כי לפחות אחת מהנק', המינ' או המקס', מתקבלת בפנים הקטע. לפי הגדרת הנגזרת + ההנחה כי f'(a) < t < f'(b) נראה כי הפונ' החדשה יורדת מימין ל a, ועולה משמאל ל b! לכן נק' הקצה אינן יכולות להיות נק' מינ'. Well Done!

משפט 8.12 - עמ' 108

משפט 8.14 ( כלל לופיטל ) - עמ' 110 אם הגעתי עד לפה ולא השתגעתי, אז אחרי זה אני בטוח משתגע, נתראה בבית משוגעים נס ציונה רח' התור 108. שימו לב טוב טוב להנחות המשפט, הם שימושיות לכל אורך ההוכחה! ראשית, מפני שאין שום קשר בין גבול חלוקת הפונ' כאשר איקס שואף ל a מימין, לבין ערך הפונ' עבור אותו a, נוכל "לתקן" את שתי הפונ' ולטעון כי ערכם ב a הוא אפס, דבר זה גורר אותנו לרציפות מימין ל a. מהמסקנה כי הפונ' המתוקנות שלנו רציפות מימין ל a, אזי רציפות לכל קטע מהצורה (a, a+h], ניגש לקטע הסגור [a,b] המקיים כי b < a+h, לכל h שנבחר בעצם! הפונ' בקטע הסגור [a,b], מקיימת את תנאי הערך הממוצע. אזי גשו לספר ותראו מה יצא כי אין לי מושג איך לרשום את זה פה. ניתן לראות, כי עבור כל b שנבחר, נקבל נק' c בהתאם, נרכיב סדרה מנק' ה c האלו ונקרא לה Cb. סדרה זו מתכנסת לערך a מפני ש: a < Cb < b < a+h, לכל h שנבחר אשר שואף לאפס! כעת, נתמקדם בהנחה השנייה של המשפט שאומרת כי גבול חלוקת הנגזרות כאשר איקס שואף ל a קיים! ומכך כאשר נרכיב את הסדרה Cb על גבול חלוקת הנגזרות, לפי היינה נקבל את אותו ערך. נחזור לאותו ביטוי שלא הצלחתי לכתוב למעלה, במשוואה זאת מתקיים שיוויון בין חלוקת הפונ' בערך a, לבין חלוקת הנגזרות בערך Cb. נרכיב גבול כאשר איקס שואף ל a בשתיהם, וקבלנו את הנדרש!

סטטיסטיקת משפטים[עריכה]

משפטים 2015 א1 2015 א2 סה"כ
יחידה 1 ------ ------ טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא
טקסט התא טקסט התא טקסט התא טקסט התא