הגדרה 1: שלמים
יהי שדה סדור. קבוצת המספרים השלמים של השדה Z = N ∪ 0 F ∪ { − n | n ∈ N } {\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup {0_{\mathbb {F} }}\cup \{-n|n\in \mathbb {N} \}}
טענה 1: Z ∗ Z = Z {\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} =\mathbb {Z} } : Z + Z = Z {\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} } : ∀ n , m ∈ Z F n + m ∈ Z F {\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }\ n+m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }}
טענה 2: ∀ n , m ∈ Z F n m ∈ Z F {\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }\ nm\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }}
טענה 3: ∀ n , m ∈ Z F m > n ⇒ m − n {\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {Z} _{\mathbb {F} }\ m>n\Rightarrow m-n}
טענה 4: ∀ x ∈ F ∀ n , m ∈ Z x m + n = x m ∗ x n {\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \forall n,m\in \mathbb {Z} \ \ x^{m+n}=x^{m}*x^{n}}
טענה 5: ∀ x ∈ F ∀ n , m ∈ Z ( x m ) n = x m n {\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \forall n,m\in \mathbb {Z} \ \ (x^{m})^{n}=x^{mn}}
טענה 6: ∀ 0 ≠ y , x ∈ F , n , m ∈ N ( x y ) n = x n y n {\displaystyle \forall 0\neq y,x\in \mathbb {F} ,\ n,m\in \mathbb {N} ({\frac {x}{y}})^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}}
הגדרה 2: חלוקה
יהי m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } . נאמר ש- m {\displaystyle m} מחלק את n {\displaystyle n} אם קיים l ∈ Z {\displaystyle l\in \mathbb {Z} } כך ש- n = m l {\displaystyle n=ml}
