לדלג לתוכן

חשבון אינפיניטסימלי/שדה סדור

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

שדה סדור[עריכה]

הגדרה 1: שדה סדור

יהי שדה. נאמר ש- שדה סדור אם קיים בו יחס (מסומן:) המקיים את האקסיומות הבאות:

  1. טריכוטומיה: כלומר היחס בין שני מספרים יכול להיות אחת מבין האפשרויות או ש- או או .
  2. טרנזטיביות:
  3. תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לחיבור :
  4. תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לכפל :


הגדרה 2: מספר מקסימלי ומינמלי


טענה 1: קונסיסטניות עם מספר הקטן מאפס:

נתון כי

נוסיף איבר נגדי של ונקבל כלומר

כמו גם נתון כי .

על פי תאימות לכפל,

על פי פילוג,


טענה 2:

מכיוון א, נתון כי נוסיף איבר נגדי ונקבל . על פי חיבור מספרים נגדים:

מכיוון ב', נתון כי . נוסיף איבר נגדי ונקבל


טענה 3:

בדומה לטענה 2 תתבצע הוכחה תוך שימוש בטענה 1.


טענה 4:

על פי טריכוטומיה מתקיים

נניח בשלילה כי :

  1. - סתירה לאקסיומת השדה לפיה קיימים שני איברים שונים זה מזה.
  2. - נכפיל את האגפים במספר אחד. מאחר שהמספר אחד קטן מאפס, על פי טענה 1 מתקיים, .
על פי נטרליות של הספרה אחת וכפל עם אפס נקבל בסתירה להנחה שלנו.


טענה 5: חיבור אי שיוונים :

נתון כי . על פי קונססטנטיות לחיבור נקבל

נתון כי . על פי קונסיסטנטיות לחבור נקבל

על פי טרנזטיביות נקבל



דוגמה 1: שדה לא סדיר

ראשית נגדיר .

השדה בו קיימים שני מספרים אחד ואפס אינו סדור מפני שמתקיים ש- (ראה גם חשבון מודולרי)


שדה סדור חלש[עריכה]

הגדרה 3: סדר חלש

יהי שדה סדור. נאמר שיחס הוא חלש (מסומן: ) אם מקיים את התכונות הבאות:

  1. רפלקסיביות:
  2. אנטיסימטריות:
  3. טרנזטיביות:
  4. תאימות עם חיבור:
  5. תאימות עם כפל:

סדר בין שברים[עריכה]

טענה 11:


טענה 12:


טענה 13:


טענה 14:

מספרים חיובים ושלילים[עריכה]

הגדרה 4: מספרים חיובים ושלילים

יהי חיובי אם

יהי שלילי אם

נגדיר כריבוע של איקס.


טענה 6: כל מספר בחזקה שניה ששונה מאפס גדול מאפס :

נתון כי ולכן או ש-:

  1. אם אז על פי טענה 1 נקבל
  2. אם אז על פי אקסיומת השדה הסדור


טענה 7: אם מספר חיובי השבר שלו חיובי (ואם מספר שלילי השבר שלו שלילי):

מכיוון א, נתון כי . נניח בשלילה כי ולכן מתקיים לפי טענה 2 ש-

נכפיל את ב- ולפי קונסיסטנטיות לכפל מתקיים,

על פי כפל מספרים הופכים וכפל באפס נקבל, בסתירה לטענה 4.

מכיוון שני, אם ונניח בשלילה כי אז מתקיים

על פי כפל מספרים הופכים וכפל באפס, בסתירה לטענה 4.


הגדרה 4: קבוצת המספרים החיובים והשלילים

קבוצת המספרים החיובים:

קבוצת המספרים השליליים:


טענה 8:

נתון כי ולכן מתקיים על פי טענה ש-.


טענה 9:

נתון כי ולכן


טענה 10:

הסימון הוא סימון לאיחוד קבוצות זרות.

מכיוון ראשון עלינו להראות כי מקיים ש-

על פי טריכוטומיה נובע כי ולכן הקבוצות זרות (לא יתכן שאיבר נגדי גדול מאפס וגם הנגדי שלו)

לכן

מכיוון שני, עלינו להראות כי מקיים ש- , כלומר כל איבר נמצא רק באחת מבין שלושת הקבוצות.

הטענה הזו נכונה מטריכוטומיה.


טענה 11: סגורה לחיבור ולכפל

סגורה לחיבור ולכפל כלומר יש להראות כי:

הוכחנו זאת בטענה 7 ו-8

שדה צפוף[עריכה]

טענה 12: ממוצע של שני מספרים :

נתון כי  :

נוסיף למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור

נוסיף למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור

על פי טרנזטיביות

נחלק בשתים (כפל בהפכי) ונקבל

מסקנה: בין כל שני איברים בשדה סדור קיים איבר נוסף ולכן השדה הוא צפוף

שדה אינסופי[עריכה]

טענה 13: שדה סדור מכיל אינסוף איברים שונים

נניח בשלילה כי קיים שדה סדור המכיל מספר סופי של איברים המקיימים:

על פי אקסיומות השדה .

בשל הסגירות של החיבור אבל

בסתירה לכך שהשדה מכיל את סדרת האיברים:

ערך מוחלט[עריכה]

הגדרה 5: ערך מוחלט

יהי שדה סדור.


הגדרה 6: הסימן (sgn) של

יהי שדה סדור.


טענה 14:

  1. אם אזי מתקיים כי וערכו המקסימלי אפס.
  2. אם אז מתקיים ואכן מתקיים ע"פ הגדרה עבור שערך המוחלט שלו הוא
  3. אם אז מתקיים ואכן מתקיים ע"פ הגדרה עבור שערך המוחלט שלו הוא


טענה 15:


טענה 16:


טענה 17:

נובע מהגדרת ערך המוחלט


טענה 18:

מכיוון ראשון נתון כי על פי הגדרת ערך המוחלט נקבל כי

מכיוון שני נתון כי

על פי טענה 16


טענה 19: סימטריה:

נובע מהגדרת min ו-max


טענה 20:


טענה 21:

על פי טענה 16

על פי טענה 20:

על פי טענה 16:


טענה 22:

  1. אם מתקיים והטענה נכונה.
  2. אם על פי טענה 14 מתקיים וגם
  3. אם על פי טענה 14 מתקיים וגם ועל פי טענה 19


טענה 23: אם אז


טענה 24: אם אז

מכיוון ראשון נתון כי

נעביר אגפים ונקבל

על פי משפט 22 מתקיים:

נציב ונקבל

מכיוון שני, מתכון כי :

ראשית נובע כי .

שנית, נתון כי ולכן

על פי הגדרת ערך מוחלט


אי שיוויון המשולש[עריכה]

טענה 25:

נתון כי ולכן מתקיים:

נחבר את המשוואות : על פי טענה 24:


טענה 26:

יש להראות כי מתקיים ש- ועל פי הגדרת ערך המוחלט - סיימנו.

נציב בטענה 25, ונקבל

נוסיף איבר נגדי,

מכיוון שני, על פי סימטריות מתקיים כי

נוציא את המינוס ונקבל

נעביר אגפים ונקבל

על פי טענה 24 נקבל כי

מרחק[עריכה]

{{הגדרה| מספר=7| שם=מרחק| תוכן= יהי שדה סדור. המרחק של מ- הוא


טענה 27:


טענה 28:


טענה 29:


טענה 30: