חשבון אינפיניטסימלי/שדה סדור

שדה סדור

הגדרה 1: שדה סדור

יהי $\mathbb {F} (+,*)$ שדה. נאמר ש- $\mathbb {F}$ שדה סדור אם קיים בו יחס (מסומן: $<$ ) המקיים את האקסיומות הבאות:

טריכוטומיה: $\forall x,y\in \mathbb {F} \ \ (x<y)\lor (y>x)\lor (x=y)$ כלומר היחס בין שני מספרים יכול להיות אחת מבין האפשרויות או ש- $x<y$ או $y>x$ או $x=y$ .
טרנזטיביות: $\forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ (x<y\land y<z)\Rightarrow x<z$
תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לחיבור : $\forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ x<y\Rightarrow x+z<y+z$
תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לכפל : $\forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ (x<y)\land (z>0)\Rightarrow xz<yz$

הגדרה 2: מספר מקסימלי ומינמלי

$\forall x,y\in \mathbb {F} \ \ \ max({x,y})={\begin{cases}x&{\text{if }}x\leq y\\y&{\text{if }}y\leq x\end{cases}}\ ,\ \ \ \ min({x,y})={\begin{cases}y&{\text{if }}x\leq y\\x&{\text{if }}y\leq x\end{cases}}$

טענה 1: קונסיסטניות עם מספר הקטן מאפס: $\forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ (x<y)\land (z<0)\Rightarrow xz>yz$

נתון כי $x<y$

נוסיף איבר נגדי של $x$ ונקבל $x+(-x)<y+(-x)$ כלומר $y-x>0$

כמו גם נתון כי $z<0$ .

על פי תאימות לכפל, $z(y-x)<0(y-x)$

על פי פילוג, $zy-zx<0$

$zy<zx$

טענה 2: $\forall a\in \mathbb {F} \ \ 0_{\mathbb {F} }<x\Leftrightarrow -x<0_{\mathbb {F} }$

מכיוון א, נתון כי $0_{\mathbb {F} }<x$ נוסיף איבר נגדי ונקבל $0_{\mathbb {F} }-x<x-x$ . על פי חיבור מספרים נגדים: $-x<0_{\mathbb {F} }$

מכיוון ב', נתון כי $-x<0_{\mathbb {F} }$ . נוסיף איבר נגדי ונקבל $0=-x+x<0+x=x$

טענה 3: $\forall x\in \mathbb {F} \ \ x<0_{\mathbb {F} }\Leftrightarrow 0_{\mathbb {F} }<-x$

בדומה לטענה 2 תתבצע הוכחה תוך שימוש בטענה 1.

טענה 4: $0_{\mathbb {F} }<1_{\mathbb {F} }$

על פי טריכוטומיה מתקיים $(0_{\mathbb {F} }<1_{\mathbb {F} })\ \ \lor \ \ \ (0_{\mathbb {F} }>1_{\mathbb {F} })\ \ \ \lor \ \ \ (0_{\mathbb {F} }=1_{\mathbb {F} })$

נניח בשלילה כי $0_{\mathbb {F} }\geq 1_{\mathbb {F} }$ :

$1_{\mathbb {F} }=0_{\mathbb {F} }$ - סתירה לאקסיומת השדה לפיה קיימים שני איברים שונים זה מזה.
$0_{\mathbb {F} }>1_{\mathbb {F} }$ - נכפיל את האגפים במספר אחד. מאחר שהמספר אחד קטן מאפס, על פי טענה 1 מתקיים, $0_{\mathbb {F} }*1_{\mathbb {F} }<1_{\mathbb {F} }*1_{\mathbb {F} }$ .

על פי נטרליות של הספרה אחת וכפל עם אפס נקבל

0_{\mathbb {F} }<1_{\mathbb {F} }

בסתירה להנחה שלנו.

טענה 5: חיבור אי שיוונים : $\forall x,y,z,w\in \mathbb {F} \ \ (x<y\ \land z<w)\Rightarrow x+z<y+w$

נתון כי $x<y$ . על פי קונססטנטיות לחיבור נקבל $x+z<y+z$

נתון כי $z<w$ . על פי קונסיסטנטיות לחבור נקבל $y+z<y+w$

על פי טרנזטיביות נקבל $x+z<y+w$

דוגמה 1: שדה לא סדיר

ראשית נגדיר $2_{\mathbb {F} }:=1_{\mathbb {F} }+1_{\mathbb {F} }$ .

השדה $2_{\mathbb {F} }$ בו קיימים שני מספרים אחד ואפס אינו סדור מפני שמתקיים ש- $2_{\mathbb {F^{2}} }=1_{\mathbb {F^{2}} }+1_{\mathbb {F^{2}} }=0$ (ראה גם חשבון מודולרי)

שדה סדור חלש

הגדרה 3: סדר חלש

יהי $\mathbb {F} (+,*,<)$ שדה סדור. נאמר שיחס הוא חלש (מסומן: $\leq$ ) אם מקיים את התכונות הבאות:

רפלקסיביות: $\forall x\in \mathbb {F} \ \ x\leq x$
אנטיסימטריות: $\forall x,y\in \mathbb {F} (x\leq y\ \land \ y\leq x)\Rightarrow x=y$
טרנזטיביות: $\forall x,y,z\in \mathbb {F} \ (x\leq y\ \land \ y\leq z)\Rightarrow x\leq z$
תאימות עם חיבור: $\forall x,y,z\in \mathbb {F} x\leq y\ \Rightarrow x+z\leq y+z$
תאימות עם כפל: $\forall x,y,z\in \mathbb {F} (x\leq y\ \land \ z>0_{\mathbb {F} })\Rightarrow xz\leq yz$

סדר בין שברים

טענה 11: $\forall n,tm,s\in \mathbb {F} \ n,t>0\ \ \ s.t\ \ \ {\frac {m}{n}}<{\frac {m+n}{n+t}}<{\frac {s}{t}}$

טענה 12: $\forall x,y\in \mathbb {F} \ \ (x>0\land y<0)\ x*y=1\Rightarrow x+y\geq 2$

טענה 13: $\forall x,y\in \mathbb {F} \ \ (x+y)({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}})\geq 4$

טענה 14: $\forall x,y\in \mathbb {F} \ x<0\land z,y>0\ \ s.t\ \ xyz=1\Rightarrow x+y+z\geq 3$

מספרים חיובים ושלילים

הגדרה 4: מספרים חיובים ושלילים

יהי $x\in \mathbb {F}$ חיובי אם $x>0_{\mathbb {F} }$

יהי $x\in \mathbb {F}$ שלילי אם $x<0_{\mathbb {F} }$

נגדיר $x^{2}:=x*x$ כריבוע של איקס.

טענה 6: כל מספר בחזקה שניה ששונה מאפס גדול מאפס : $\forall 0\neq x\in \mathbb {F} \ 0_{\mathbb {F} }<x^{2}$

נתון כי $x\neq 0$ ולכן או ש- $x<0_{\mathbb {F} }\ \lor x>0_{\mathbb {F} }$ :

אם $x<0_{\mathbb {F} }$ אז על פי טענה 1 נקבל $x*x>0_{\mathbb {F} }$
אם $x>0_{\mathbb {F} }$ אז על פי אקסיומת השדה הסדור $x*x>0$

טענה 7: אם מספר חיובי השבר שלו חיובי (ואם מספר שלילי השבר שלו שלילי): $\forall x\in \mathbb {F} \ x>0_{\mathbb {F} }\Leftrightarrow x^{-1}>0_{\mathbb {F} }$

מכיוון א, נתון כי $x>0$ . נניח בשלילה כי $x^{-1}$ ולכן מתקיים לפי טענה 2 ש- $-x^{-1}>0$

נכפיל את $x>0$ ב- $-x^{-1}>0$ ולפי קונסיסטנטיות לכפל מתקיים, $x*(-x^{-1})>0*(-x^{-1})$

על פי כפל מספרים הופכים וכפל באפס נקבל, $1=x*(-x^{-1})>0*(-x^{-1})=0$ בסתירה לטענה 4.

מכיוון שני, אם $0<{\frac {1}{x}}$ ונניח בשלילה כי $x<0$ אז מתקיים $x*0>{\frac {1}{x}}*x$

על פי כפל מספרים הופכים וכפל באפס, $0=x*0>{\frac {1}{x}}*x=1$ בסתירה לטענה 4.

הגדרה 4: קבוצת המספרים החיובים והשלילים

קבוצת המספרים החיובים: $\mathbb {F} ^{+}:=\{x\in \mathbb {F} |0_{\mathbb {F} }<x\}$

קבוצת המספרים השליליים: $\mathbb {F} ^{-}:=\{x\in \mathbb {F} |0_{\mathbb {F} }>x\}$

טענה 8: $\mathbb {F} ^{+}+\mathbb {F} ^{+}\subseteq \mathbb {F} ^{+}$

נתון כי $0<x,y\in \mathbb {F}$ ולכן מתקיים על פי טענה ש- $0<x+y$ .

טענה 9: $\mathbb {F} ^{+}*\mathbb {F} ^{+}\subseteq \mathbb {F} ^{+}$

נתון כי $0<x,y\in \mathbb {F}$ ולכן $x*y>0*y=0$

טענה 10: $\mathbb {F} =\mathbb {F} ^{+}\uplus 0_{\mathbb {F} }\uplus \mathbb {F} ^{-}$

הסימון $\uplus$ הוא סימון לאיחוד קבוצות זרות.

מכיוון ראשון עלינו להראות כי מקיים ש- $\mathbb {F} ^{+}\uplus 0_{\mathbb {F} }\uplus \mathbb {F} ^{-}\subseteq \mathbb {F}$

על פי טריכוטומיה נובע כי $\mathbb {F} ^{+}\cap \mathbb {F} ^{-}=\emptyset$ ולכן הקבוצות זרות (לא יתכן שאיבר נגדי גדול מאפס וגם הנגדי שלו)

לכן $\mathbb {F} ^{+}\uplus 0_{\mathbb {F} }\uplus \mathbb {F} ^{-}\subseteq \mathbb {F}$

מכיוון שני, עלינו להראות כי מקיים ש- $\mathbb {F} ^{+}\uplus 0_{\mathbb {F} }\uplus \mathbb {F} ^{-}\supseteq \mathbb {F}$ , כלומר כל איבר נמצא רק באחת מבין שלושת הקבוצות.

הטענה הזו נכונה מטריכוטומיה.

טענה 11: $\mathbb {F} ^{+}$ סגורה לחיבור ולכפל

$\mathbb {F} ^{+}$ סגורה לחיבור ולכפל כלומר יש להראות כי:

$\forall x,y\in \mathbb {F} ^{+}\ x+y\in \mathbb {F} ^{+}$
$\forall x,y\in \mathbb {F} ^{+}\ xy\in \mathbb {F} ^{+}$

הוכחנו זאת בטענה 7 ו-8

שדה צפוף

טענה 12: ממוצע של שני מספרים : $\forall x,y\in \mathbb {F} \ x<y\Rightarrow x<{\frac {x+y}{2}}<y$

נתון כי $x<y$ :

נוסיף $x$ למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור $x+x<y+x$

נוסיף $y$ למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור $x+y<y+y$

על פי טרנזטיביות $x+x<x+y<y+y$

נחלק בשתים (כפל בהפכי) ונקבל $x<{\frac {x+y}{2}}<y$

מסקנה: בין כל שני איברים בשדה סדור קיים איבר נוסף ולכן השדה הוא צפוף

שדה אינסופי

טענה 13: שדה סדור מכיל אינסוף איברים שונים

נניח בשלילה כי קיים שדה סדור המכיל מספר סופי של איברים המקיימים: $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}$

על פי אקסיומות השדה $1_{\mathbb {F} }\in \mathbb {F}$ .

בשל הסגירות של החיבור $a_{n}+1_{\mathbb {F} }\in \mathbb {F}$ אבל $a_{n}<a_{n}+1_{\mathbb {F} }$

בסתירה לכך שהשדה מכיל את סדרת האיברים: $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}$

ערך מוחלט

הגדרה 5: ערך מוחלט

יהי $\mathbb {F} (+,*,<)$ שדה סדור.

$\forall x\in \mathbb {F} \ \ \ |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}x>0_{\mathbb {F} }\\0_{\mathbb {F} }&{\text{if }}x=0_{\mathbb {F} }\\-x&{\text{if }}x<0_{\mathbb {F} }\end{cases}}$

הגדרה 6: הסימן (sgn) של $x$

יהי $\mathbb {F} (+,*,<)$ שדה סדור.

$\forall x\in \mathbb {F} \ \ \ sgn(x)={\begin{cases}1_{\mathbb {F} }&{\text{if }}x>0_{\mathbb {F} }\\0_{\mathbb {F} }&{\text{if }}x=0_{\mathbb {F} }\\-1_{\mathbb {F} }&{\text{if }}x<0_{\mathbb {F} }\end{cases}}$

טענה 14: $\forall x\in \mathbb {F} |x|=max\{x,-x\}$

אם $x=0_{\mathbb {F} }$ אזי מתקיים כי $|x|=|0|$ וערכו המקסימלי אפס.
אם $x>0_{\mathbb {F} }$ אז מתקיים $max\{x,-x\}=x$ ואכן מתקיים ע"פ הגדרה עבור $x>0_{\mathbb {F} }$ שערך המוחלט שלו הוא $|x|=x$
אם $x<0_{\mathbb {F} }$ אז מתקיים $max\{x,-x\}=-x$ ואכן מתקיים ע"פ הגדרה עבור $x<0_{\mathbb {F} }$ שערך המוחלט שלו הוא $|x|=-x$

טענה 15: $\forall x\in \mathbb {F} \ |x|=x*sgn(x)$

טענה 16: $\forall x\in \mathbb {F} \ x=|x|*sgn(x)$

טענה 17: $0_{\mathbb {F} }\leq |x|$

נובע מהגדרת ערך המוחלט

טענה 18: $0_{\mathbb {F} }=|x|\Leftrightarrow x=0_{\mathbb {F} }$

מכיוון ראשון נתון כי $x=0_{\mathbb {F} }$ על פי הגדרת ערך המוחלט נקבל כי $|x|=0_{\mathbb {F} }$

מכיוון שני נתון כי $|x|=0_{\mathbb {F} }$

על פי טענה 16 $x=|x|sgn(x)=0_{\mathbb {F} }*sgn(x)=0_{\mathbb {F} }$

טענה 19: סימטריה: $|x|=|-x|$

נובע מהגדרת min ו-max

טענה 20: $\forall x,y\in \mathbb {F} \ \ sgn(xy)=sgn(x)*sgn(y)$

טענה 21: $\forall x,y\in \mathbb {F} \ \ |xy|=|x||y|$

על פי טענה 16 $|xy|=(xy)*sgn(xy)$

על פי טענה 20: $(xy)*sgn(xy)=xy*(sgn(x)*sgn(y))=xsgn(x)*ysgn(y)$

על פי טענה 16: $xsgn(x)*ysgn(y)=|x||y|$

טענה 22: $-|x|\leq x\leq |x|$

אם $x=0$ מתקיים $-|0|\leq 0\leq |0|$ והטענה נכונה.
אם $x>0$ על פי טענה 14 מתקיים $max\{-x,x\}=x$ וגם $min{-x,x}=-x=-|x|$
אם $x<0$ על פי טענה 14 מתקיים $max\{-x,x\}=-x=|x|$ וגם $min{-x,x}=-(-x)=-|-x|$ ועל פי טענה 19 $min{-x,x}=-(-x)=-|-x|=-|x|$

טענה 23: אם $0_{\mathbb {F} }\leq y$ אז $|x|<y\Leftrightarrow -y<x<y$

טענה 24: אם $0_{\mathbb {F} }\leq y$ אז $|x|\leq y\Leftrightarrow -y\leq x\leq y$

מכיוון ראשון נתון כי $|x|\leq y$

נעביר אגפים ונקבל $-y\leq -|x|$

על פי משפט 22 מתקיים: $-|x|\leq x\leq |x|$

נציב ונקבל $-y\leq -|x|\leq x\leq |x|\leq y$

מכיוון שני, מתכון כי $-y\leq x\leq y$ :

ראשית נובע כי $x\leq y$ .

שנית, נתון כי $-y\leq x$ ולכן $-x\leq y$

על פי הגדרת ערך מוחלט $|x|\leq y$

אי שיוויון המשולש

טענה 25: $\forall x,y\in \mathbb {F} \ |x+y|\leq |x|+|y|$

נתון כי $|x|\leq |y|$ ולכן מתקיים:

$-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert$
$-\left\vert y\right\vert \leq y\leq \left\vert y\right\vert$

נחבר את המשוואות : $-(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert )\leq x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$ על פי טענה 24: $|x+y|\leq |x|+|y|$