מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: שדה סדור
יהי שדה. נאמר ש- שדה סדור אם קיים בו יחס (מסומן: ) המקיים את האקסיומות הבאות:
- טריכוטומיה:
כלומר היחס בין שני מספרים יכול להיות אחת מבין האפשרויות או ש- או או .
- טרנזטיביות:
![{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ (x<y\land y<z)\Rightarrow x<z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5c3dc7b637f5f1f4ac1e8220ad07008c3a30dd)
- תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לחיבור :
![{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ x<y\Rightarrow x+z<y+z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf089c116bc6de5065096ceae76534ddcf65864)
- תאימות (קונסיסטנטיות/אינווריאנטיות) לכפל :
![{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ (x<y)\land (z>0)\Rightarrow xz<yz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314364ea5ae55b070e451071731df50ca295ae25)
|
הגדרה 2: מספר מקסימלי ומינמלי
|
טענה 1: קונסיסטניות עם מספר הקטן מאפס: ![{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {F} \ \ (x<y)\land (z<0)\Rightarrow xz>yz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6d04d8517999af09bda0c1f3c12e84e3b71c70)
נתון כי
נוסיף איבר נגדי של ונקבל כלומר
כמו גם נתון כי .
על פי תאימות לכפל,
על פי פילוג,
|
טענה 3: ![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \ x<0_{\mathbb {F} }\Leftrightarrow 0_{\mathbb {F} }<-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b00edc65476e35b9e6bb9da165662887341b31)
בדומה לטענה 2 תתבצע הוכחה תוך שימוש בטענה 1.
|
טענה 5: חיבור אי שיוונים : ![{\displaystyle \forall x,y,z,w\in \mathbb {F} \ \ (x<y\ \land z<w)\Rightarrow x+z<y+w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262920f9c600c5602ebc0a4e16f5e54abe3e2e93)
נתון כי . על פי קונססטנטיות לחיבור נקבל
נתון כי . על פי קונסיסטנטיות לחבור נקבל
על פי טרנזטיביות נקבל
|
דוגמה 1: שדה לא סדיר
ראשית נגדיר .
השדה בו קיימים שני מספרים אחד ואפס אינו סדור מפני שמתקיים ש- (ראה גם חשבון מודולרי)
|
הגדרה 3: סדר חלש
יהי שדה סדור. נאמר שיחס הוא חלש (מסומן: ) אם מקיים את התכונות הבאות:
- רפלקסיביות:
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \ x\leq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054ce7be7c8debaaaf379b42bdbe5bb686f2c5de)
- אנטיסימטריות:
![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} (x\leq y\ \land \ y\leq x)\Rightarrow x=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995cd9f74c2eaa6c802e83daeaf0e629a49c7cff)
- טרנזטיביות:
![{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {F} \ (x\leq y\ \land \ y\leq z)\Rightarrow x\leq z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f53733f221d457ccadec635b215af482a8ed3a)
- תאימות עם חיבור:
![{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {F} x\leq y\ \Rightarrow x+z\leq y+z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68386238ec38ee8fdf744490fde441865de96792)
- תאימות עם כפל:
![{\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb {F} (x\leq y\ \land \ z>0_{\mathbb {F} })\Rightarrow xz\leq yz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1bf7370fd90e97d7a0e9fd4bef78ffc6de8a9f)
|
טענה 11: ![{\displaystyle \forall n,tm,s\in \mathbb {F} \ n,t>0\ \ \ s.t\ \ \ {\frac {m}{n}}<{\frac {m+n}{n+t}}<{\frac {s}{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3bea9391ceada9fb88b6b3ae485df4679bab20)
|
טענה 12: ![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} \ \ (x>0\land y<0)\ x*y=1\Rightarrow x+y\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670cd899ec74a4b6c36b2a48417b56b367b4d022)
|
טענה 13: ![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} \ \ (x+y)({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}})\geq 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe653e10c108d7b0bf9724802044be0cd556a39)
|
טענה 14: ![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} \ x<0\land z,y>0\ \ s.t\ \ xyz=1\Rightarrow x+y+z\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5ac7794a21ca5c7a85f07caa8507eccf5df417)
|
מספרים חיובים ושלילים
[עריכה]
הגדרה 4: מספרים חיובים ושלילים
יהי חיובי אם
יהי שלילי אם
נגדיר כריבוע של איקס.
|
הגדרה 4: קבוצת המספרים החיובים והשלילים
קבוצת המספרים החיובים:
קבוצת המספרים השליליים:
|
טענה 8: ![{\displaystyle \mathbb {F} ^{+}+\mathbb {F} ^{+}\subseteq \mathbb {F} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fe72f4076c42795e435dcd62a0236a466cac03)
נתון כי ולכן מתקיים על פי טענה ש- .
|
טענה 9: ![{\displaystyle \mathbb {F} ^{+}*\mathbb {F} ^{+}\subseteq \mathbb {F} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736f538c7820b4cd9059e6145041374689c98a7c)
נתון כי ולכן
|
טענה 10: ![{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {F} ^{+}\uplus 0_{\mathbb {F} }\uplus \mathbb {F} ^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971a3034c9be32f6908ad3b079a5dd6a098efdb3)
הסימון הוא סימון לאיחוד קבוצות זרות.
מכיוון ראשון עלינו להראות כי מקיים ש-
על פי טריכוטומיה נובע כי ולכן הקבוצות זרות (לא יתכן שאיבר נגדי גדול מאפס וגם הנגדי שלו)
לכן
מכיוון שני, עלינו להראות כי מקיים ש- , כלומר כל איבר נמצא רק באחת מבין שלושת הקבוצות.
הטענה הזו נכונה מטריכוטומיה.
|
טענה 11: סגורה לחיבור ולכפל
סגורה לחיבור ולכפל כלומר יש להראות כי:
![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} ^{+}\ x+y\in \mathbb {F} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f9f18b085b672dac07a741f25dc5ee57e675e8)
![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} ^{+}\ xy\in \mathbb {F} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9b1165591cb75234cfba531a042fa55a75d504)
הוכחנו זאת בטענה 7 ו-8
|
טענה 12: ממוצע של שני מספרים : ![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} \ x<y\Rightarrow x<{\frac {x+y}{2}}<y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20eb4ce537dc4491d552ec431f8e65277ef22710)
נתון כי :
נוסיף למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור
נוסיף למשוואה ונקבל על פי תאימות לחיבור
על פי טרנזטיביות
נחלק בשתים (כפל בהפכי) ונקבל
|
מסקנה: בין כל שני איברים בשדה סדור קיים איבר נוסף ולכן השדה הוא צפוף
טענה 13: שדה סדור מכיל אינסוף איברים שונים
נניח בשלילה כי קיים שדה סדור המכיל מספר סופי של איברים המקיימים:
על פי אקסיומות השדה .
בשל הסגירות של החיבור אבל
בסתירה לכך שהשדה מכיל את סדרת האיברים:
|
הגדרה 5: ערך מוחלט
יהי שדה סדור.
|
הגדרה 6: הסימן (sgn) של ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
יהי שדה סדור.
|
טענה 15: ![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ |x|=x*sgn(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e273be342668d47d60b8a3616180de965344790b)
|
טענה 16: ![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ x=|x|*sgn(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102c5a8ac4795c7f49cc549a998357bdfd5c075e)
|
טענה 17: ![{\displaystyle 0_{\mathbb {F} }\leq |x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38412986f2cc0ac4779b5e9f64d4cff7c42f4c8a)
נובע מהגדרת ערך המוחלט
|
טענה 18: ![{\displaystyle 0_{\mathbb {F} }=|x|\Leftrightarrow x=0_{\mathbb {F} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a60faba34fed9397d2cd265856ad32a8c35226)
מכיוון ראשון נתון כי על פי הגדרת ערך המוחלט נקבל כי
מכיוון שני נתון כי
על פי טענה 16
|
טענה 19: סימטריה: ![{\displaystyle |x|=|-x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11053cf35fc32bd3d1a204a901f3cdd49fe02f4)
נובע מהגדרת min ו-max
|
טענה 20: ![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} \ \ sgn(xy)=sgn(x)*sgn(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9627290f67f0f6d613b55a2c05b81e8e7867dc85)
|
טענה 21: ![{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {F} \ \ |xy|=|x||y|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8087ee9006469b10bdabd087407b0cb2c23627)
על פי טענה 16
על פי טענה 20:
על פי טענה 16:
|
טענה 22: ![{\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8866560256e41252baf0bf353ec6f146f6ebac4)
- אם
מתקיים והטענה נכונה.
- אם
על פי טענה 14 מתקיים וגם ![{\displaystyle min{-x,x}=-x=-|x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d6d45d29739d801809e029b3fca033b7d545cd)
- אם
על פי טענה 14 מתקיים וגם ועל פי טענה 19 ![{\displaystyle min{-x,x}=-(-x)=-|-x|=-|x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd61ab2e762b81b51e15403fae45fd26d9d57a3)
|
טענה 23: אם אז ![{\displaystyle |x|<y\Leftrightarrow -y<x<y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d5bd22942697fe2ee4baf498960ff0c5524297)
|
טענה 24: אם אז ![{\displaystyle |x|\leq y\Leftrightarrow -y\leq x\leq y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fe255d365fd7f9cfcaa2280ba9a3aa22b2a743)
מכיוון ראשון נתון כי
נעביר אגפים ונקבל
על פי משפט 22 מתקיים:
נציב ונקבל
מכיוון שני, מתכון כי :
ראשית נובע כי .
שנית, נתון כי ולכן
על פי הגדרת ערך מוחלט
|
טענה 26: ![{\displaystyle {\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}\leq |x-y|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1e6bca3270a40c9f4fa64c934736d12acd7a37)
יש להראות כי מתקיים ש- ועל פי הגדרת ערך המוחלט - סיימנו.
נציב בטענה 25, ונקבל
נוסיף איבר נגדי,
מכיוון שני, על פי סימטריות מתקיים כי
נוציא את המינוס ונקבל
נעביר אגפים ונקבל
על פי טענה 24 נקבל כי
|
{{הגדרה|
מספר=7|
שם=מרחק|
תוכן= יהי
שדה סדור. המרחק של
מ-
הוא
טענה 27: ![{\displaystyle dist(x,y)=dist(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5467b4130e22b148113906aa0a791f7c655ef99)
|
טענה 28: ![{\displaystyle dist(x,z)\leq dist(x,y)+dist(y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7699d291a6debb6497cba95d88e2817f396695)
|
טענה 29: ![{\displaystyle 0_{\mathbb {F} }\leq dist(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91ef97e589aaeb9d0008750186847e5050e9431)
|
טענה 30: ![{\displaystyle 0_{\mathbb {F} }=dist(x,y)\Leftrightarrow x=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a343e92ce8c698eaef08ce7c30274a821ad32835)
|