לדלג לתוכן

חשבון אינפיניטסימלי/רציונליים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הגדרה 1: חזקה טבעית

יהי . נסמן:


הגדרה 2: רציונליים (שבר)

יהי שדה סדור. קבוצת הרציונלים () מוגדרת או לחילופין


טענה 1:

יהי

נגדיר את הקבוצה : אם נוכיח כי הקבוצה אינדוקטיבית סיימנו.

על פי הגדרת החזקות

נניח כי כלומר מתקיים ש-

נוכיח את נכונות הטענה עור :

על פי ההגדרה:

על פי הגדרת הקבוצה:

על פי כללי חזקות:

על פי פילוג:

על פי הגדרה:

על כן הקבוצה אינדוקטיבית והטענה נכונה לכל מספר טבעי.


טענה 2:

יהי

נגדיר את הקבוצה : אם נוכיח כי הקבוצה אינדוקטיבית סיימנו.

על פי הגדרת החזקות

נניח כי כלומר מתקיים ש-

נוכיח את נכונות הטענה עור :

על פי הגדרה וטענה 1:

על פי הגדרת הקבוצה :

על פי כללי חזקות:

על פי פילוג:

על כן הקבוצה אינדוקטיבית והטענה נכונה לכל מספר טבעי.


טענה 3:

נגדיר קבוצה: נוכיח כי אינדוקטיבית.

מפני ש-

נניח כי ומתקיים ש-.

נוכיח כי הטענה נכונה לכל :

על פי הגדרות:

על פי טענה 3:

על פי חילוף כפל,

על פי הגדרה

על כן קבוצה אינדוקטיבית והטענה נכונה לכל מספר טבעי

טענה 4:

נתון כי ולכן קיים איבר הפכי המקיים

מטענה 3 מתקיים :

על פי טענה 2:

על פי טענה 3:

על פי טענה 2:

נתבונן על המשוואה:

נחלק ב- ונכפיל ב- ונקבל

כלומר,


טענה 5: אי שיוויון ברנולי:

בסיס האינדוקציה: ואכן מתקיים ש: כלומר: .

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור כלשהו, כלומר נניח ש:

נשים לב לכך שמכיוון ש- אז: , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי-שוויון של ההנחה ולקבל ש:

כלומר מתקיים ש- . בנחה זו נשתמש בהמשך

צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור כלומר צריך להוכיח ש-:

על פי פילוג,

לפי הנחת האינדוקציה הראינו כי: (הביטוי חיובי מאחר ש- וגם , ולכן אי השיוויון מתקיים).

טענה 6: הבינום:

בסיס:

נניח כי הטענה נכונה

נוכיח כי הטענה נכונה :

שבר פשוט[עריכה]

הגדרה 3: שבר פשוט או הצגה מצומצמת

יהי שדה סדור. יהי אם לא ניתן לכתוב


טענה 7: לכל יש הצגה מצומצמת יחידה, ולא קיים המחלק את

הרציונלים שדה סדור[עריכה]

משפט 1: שדה סדור

יהיו נוכיח כי השדה :

  1. סגור לחיבור:
  2. סגור לכפל:
  3. מקיים את אקסיומות השדה":
    • אקסיומת החילוף, קיבוץ, פילוג ואקסיומות הסדק מתקיימות בשדה הרציונלים מפני שהם תת קבוצה של שדה בו מתקיים תכונות אלו.
    • נמצאים בו האיברים אחד ואפס מפני ש-
  4. קיום איבר נגדי: יהי כלומר מתקיים אזי הנגדי שלו יהיה

  1. # קיום איבר הפכי: יהי כלומר מתקיים אזי ההפכי שלו יהיה

כך שמתקיים