מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: חזקה טבעית
יהי . נסמן:
|
הגדרה 2: רציונליים (שבר)
יהי שדה סדור. קבוצת הרציונלים ( ) מוגדרת או לחילופין
|
טענה 1: ![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \forall n,m\in \mathbb {N} \ \ x^{m+n}=x^{m}*x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b767c2227eafe1d5e1f7383adccef2bf955d5c56)
יהי
נגדיר את הקבוצה : אם נוכיח כי הקבוצה אינדוקטיבית סיימנו.
על פי הגדרת החזקות
נניח כי כלומר מתקיים ש-
נוכיח את נכונות הטענה עור :
על פי ההגדרה:
על פי הגדרת הקבוצה:
על פי כללי חזקות:
על פי פילוג:
על פי הגדרה:
על כן הקבוצה אינדוקטיבית והטענה נכונה לכל מספר טבעי.
|
טענה 2: ![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \forall n,m\in \mathbb {N} \ \ (x^{m})^{n}=x^{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebc811880358226f42f810106a0c22d4b612ebc)
יהי
נגדיר את הקבוצה : אם נוכיח כי הקבוצה אינדוקטיבית סיימנו.
על פי הגדרת החזקות
נניח כי כלומר מתקיים ש-
נוכיח את נכונות הטענה עור :
על פי הגדרה וטענה 1:
על פי הגדרת הקבוצה :
על פי כללי חזקות:
על פי פילוג:
על כן הקבוצה אינדוקטיבית והטענה נכונה לכל מספר טבעי.
|
טענה 3: ![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {F} \ \forall n\in \mathbb {N} \ \ (xy)^{n}=x^{n}*y^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb12f61abdbc96924e262302dc570de291919f2a)
נגדיר קבוצה: נוכיח כי אינדוקטיבית.
מפני ש-
נניח כי ומתקיים ש- .
נוכיח כי הטענה נכונה לכל :
על פי הגדרות:
על פי טענה 3:
על פי חילוף כפל,
על פי הגדרה
על כן קבוצה אינדוקטיבית והטענה נכונה לכל מספר טבעי
|
טענה 4: ![{\displaystyle \forall 0\neq y,x\in \mathbb {F} ,\ n,m\in \mathbb {N} ({\frac {x}{y}})^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45602ddd1751c2498f55311bc7c10ab92589c234)
נתון כי ולכן קיים איבר הפכי המקיים
מטענה 3 מתקיים :
על פי טענה 2:
על פי טענה 3:
על פי טענה 2:
נתבונן על המשוואה:
נחלק ב- ונכפיל ב- ונקבל
כלומר,
|
טענה 6: הבינום: ![{\displaystyle (x^{n}-y^{n})=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{n-k}*y^{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ba92989ec0f5266a61d58effa8490d90a2ddc9)
בסיס:
נניח כי הטענה נכונה
נוכיח כי הטענה נכונה :
|
הגדרה 3: שבר פשוט או הצגה מצומצמת
יהי שדה סדור. יהי אם לא ניתן לכתוב
|
הרציונלים שדה סדור
[עריכה]
משפט 1: שדה סדור
יהיו נוכיח כי השדה :
- סגור לחיבור:
![{\displaystyle {\frac {z_{1}}{n_{1}}}+{\frac {z_{2}}{n_{2}}}={\frac {z_{1}*n_{2}+z_{2}*n_{1}}{n_{1}*n_{2}}}\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d003b4a50604e1ecb9e610adf62ddbfcd1ef4580)
- סגור לכפל:
![{\displaystyle {\frac {z_{1}}{n_{1}}}*{\frac {z_{2}}{n_{2}}}={\frac {z_{1}*z_{2}}{n_{1}*n_{2}}}\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b99aa8dd0420266a8e4ca740dbc57514b3dd96)
- מקיים את אקסיומות השדה":
- אקסיומת החילוף, קיבוץ, פילוג ואקסיומות הסדק מתקיימות בשדה הרציונלים מפני שהם תת קבוצה של שדה בו מתקיים תכונות אלו.
- נמצאים בו האיברים אחד ואפס מפני ש-
![{\displaystyle {\frac {0}{1}}=0\in \mathbb {Q} \ \ \ {\frac {1}{1}}=1\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e1e3d751204e8757a1d3b1a3e412ad29e4e4a3)
- קיום איבר נגדי: יהי
כלומר מתקיים אזי הנגדי שלו יהיה
- # קיום איבר הפכי: יהי
כלומר מתקיים אזי ההפכי שלו יהיה
כך שמתקיים
|