חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים

הגדרות ומשפטים

רציפות: תהי פונקציה $f$ בסביבה של $x_{0}$. אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך ש-

$|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$

משפט פונקציה היא רציפה אם ורק אם לכל סדרה השואפת ל-$x_{0}$ יתקיים התנאי: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{n\to \infty }f(x_{0})$
משפט הרכבה של רציפות היא רציפה.
אי-רציפות: יש שלושה סוגים של אי-רציפות:

1. סליקה - הגבול של הפונקציה ב- $x_{0}$ קיים משני הצדדים ושווה אבל בנקודה $x_{0}$ הפונקציה לא מקבלת את ערך הגבול.
2. מסוג ראשון - קיימים גבולות חד-צדדיים, והם לא שווים
3. מסוג שני - אחד הגבולות החלקיים (או שניהם) לא קיים או קיים רק במובן ברחב.

משפט ערך הביניים תהי פונקציה $f$ בקטע $[a,b]$. אם $f(a)\cdot f(b)<0$ אזי קיימת נקודה $x_{0}\in (a,b)$ בה $f(x_{0})=0$

משפטי ויירשטראס:

1. פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו
2. פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום

רציפות בכמה משתנים: תהי $f$

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

נגזרת: תהי פונקציה $f$ מוגדרת בקטע $[a,b]$ ותהי $x_{0}$ נקודה פנימית של הקטע, ויהי h מספר השונה מ-0 עבורו $x_{0}+h$ עדיין שייך לקטע. f גזירה ב-$x_{0}$ אם קיים הגבול
$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ הגבול יקרא הנגזרת של $f$ בנקודה $x_{0}$ ויסומן ע"י $f'(x_{0})$ או ${\frac {d}{dx}}f(x_{0})$