חשבון אינפיניטסימלי/טבעים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

קבוצה אינדוקטיבית[עריכה]

הגדרה 1: חיתוך משותף

תהי קבוצה ותהי הקבוצה , קבוצה המכילה את תתי הקבוצות של . החיתוך המשותף של קבוצת תהיה קבוצת כל האיברים של הנמצאים בכל אחת מהקבוצות של



דוגמה 1: חיתוך משותף


הגדרה 2: קבוצה אינדוקטיבית

יהי שדה סדור .

תהי תת קבוצה של השדה.

נאמר ש- קבוצה אינדוקטיבית אם מקיימת :


טענה 1: אינדוקטיבית


טענה 2: אינדוקטיבית


טענה 3: אינדוקטיבית

המספרים הטבעים[עריכה]

הגדרה 2: קבוצת המספרים הטבעיים ()

תהי קבוצה כל הקבוצות האינדוקטיביות של .

תהי הקבוצה המקיימת כלומר קבוצת כל האיברים המשותפים של גמא.


טענה 4: היא תת קבוצה אינדוקטיבית של השדה ()

כדי להוכיח כי אינדוקטיבית יש להוכיח כי היא מקיימת

תהי קבוצה כל הקבוצות האינדוקטיביות של .

על פי הגדרה

שייך לכל תת הקבוצות של גמא מפני שגמא מכילה את כל הקבוצות האינדוקטיביות ועל פי הגדרה שייך לכל קבוצה.

על כן בעת בהכרח יהיה המספר כי הוא משותף לכל הקבוצות.

יהיה . אם נמצא בכל קבוצה אינדוקטיבית אז מתקיים שגם נמצא בכל אותן קבוצות כי הן אינדוקטיביות.

על כן בעת בהכרח יהיה המספר כי הוא משותף לכל הקבוצות.



משפט 1: עקרון האינדוקציה: תהי תת קבוצה של הטבעיים ( ) המקיימת:

אזי מתקיים

נתון . מצד שני נתון כי אינדוקטיבית ולכן .


טענה 5: הטבעים שווים וגדולים מאחד:

נגדיר את הקבוצה: .נתון

נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי.

בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי :

  1. 1 מפני שהקבוצה מוגדרת להיות כל המספרים הטבעים הכוללים את המספר אחד.
  2. : יהי ולכן .

כי אינדוקטיבית ולכן .

לכן אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש- ומכאן ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.


טענה 6: ::

נגדיר את הקבוצה: .נתון

נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי.

בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי :

  1. 1 מפני שהקבוצה מוגדרת להיות כל המספרים הטבעים הכוללים את המספר אחד.
ולכן כי הטבעים הם קבוצה אינדוקטיבית.
  1. : יהי ולכן .
על פי קיבוץ מתקיים

לכן אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש- ומכאן ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.


טענה 7:


טענה 8:

נגדיר את הקבוצה: .נתון

נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית אזי ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי.

בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי :

  1. מפני שהגדרנו שהוא נמצא בה.
  2. יהי ולכן ולכן כי אינדוקטיבית.
ומכאן

לכן אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש- ומכאן ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.


טענה 9:

נגדיר את הקבוצה: .נתון

נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית אזי ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי.

בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי :

  1. על פי טענה 8.
  2. יהי
מתקיים ולכן על פי ההגדרה של קבוצת מתקיים .
ולכן

לכן אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש- ומכאן ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.


טענה 10:

יהי

נניח בשלילה כי כלומר על פי אי שיוויון הימיני מתקיים

בסתירה לטענה 9 לפיה מתקיים ולכן

זוגיים ואי זוגיים[עריכה]

הגדרה 3: זוגיים ואי זוגיים

זוגי אם

לחילופין ניתן להגדיר את האי זוגים, ורק אחת משתי ההגדרות תקפה (ההגדרה השניה היא מסקנה על פי הראשונה):

אי זוגי אם