חשבון אינפיניטסימלי/טבעים

קבוצה אינדוקטיבית

הגדרה 1: חיתוך משותף $\cap \Gamma$ תהי $A$ קבוצה ותהי הקבוצה $\Gamma$, קבוצה המכילה את תתי הקבוצות של $A$. החיתוך המשותף של קבוצת $\Gamma$ תהיה קבוצת כל האיברים של $A$ הנמצאים בכל אחת מהקבוצות של $\Gamma$

דוגמה 1: חיתוך משותף $A={a,b,c,d}$ $\Gamma =\{\{a,b\},\{c,b\}\}$ $\cap \Gamma =\{b\}$

הגדרה 2: קבוצה אינדוקטיבית יהי שדה סדור $\mathbb {F} (+,*,>)$. תהי $A\subseteq \mathbb {F}$ תת קבוצה של השדה. נאמר ש-$A$ קבוצה אינדוקטיבית אם מקיימת : $1_{\mathbb {F} }\in A$ $\forall x\in \mathbb {F} \ x+1_{\mathbb {F} }\in A$

טענה 1: $\mathbb {F}$ אינדוקטיבית

טענה 2: $\mathbb {F} ^{+}$ אינדוקטיבית

טענה 3: $\mathbb {F} ^{+}\cup {0}$ אינדוקטיבית

המספרים הטבעים

הגדרה 2: קבוצת המספרים הטבעיים ($\mathbb {N} _{\mathbb {F} }$) תהי $\Gamma$ קבוצה כל הקבוצות האינדוקטיביות של $\mathbb {F}$. תהי $\mathbb {N} _{\mathbb {F} }$ הקבוצה המקיימת $\mathbb {N} _{\mathbb {F} }=\cap \Gamma$ כלומר קבוצת כל האיברים המשותפים של גמא.

טענה 4: $\mathbb {N} _{\mathbb {F} }$ היא תת קבוצה אינדוקטיבית של השדה ($\mathbb {N} _{\mathbb {F} }\subseteq A$) כדי להוכיח כי $\mathbb {N} _{\mathbb {F} }$ אינדוקטיבית יש להוכיח כי היא מקיימת $1_{\mathbb {F} }\in A$ $\forall x\in \mathbb {F} \ x+1_{\mathbb {F} }\in A$ תהי $\Gamma$ קבוצה כל הקבוצות האינדוקטיביות של $\mathbb {F}$. על פי הגדרה $\mathbb {N} _{\mathbb {F} }=\cap \Gamma$ $1_{\mathbb {F} }$ שייך לכל תת הקבוצות של גמא מפני שגמא מכילה את כל הקבוצות האינדוקטיביות ועל פי הגדרה $1_{\mathbb {F} }$ שייך לכל קבוצה. על כן בעת $\cap \Gamma$ בהכרח יהיה המספר $1_{\mathbb {F} }$ כי הוא משותף לכל הקבוצות. יהיה $n\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }$. אם $n$ נמצא בכל קבוצה אינדוקטיבית אז מתקיים שגם $n+1$ נמצא בכל אותן קבוצות כי הן אינדוקטיביות. על כן בעת $\cap \Gamma$ בהכרח יהיה המספר $n+1_{\mathbb {F} }$ כי הוא משותף לכל הקבוצות.

משפט 1: עקרון האינדוקציה: תהי $A\subseteq \mathbb {F}$ תת קבוצה של הטבעיים ( $A\subseteq \mathbb {N} _{\mathbb {F} }$) המקיימת: $1_{\mathbb {F} }\in A$ $\forall x\in \mathbb {F} \ x+1_{\mathbb {F} }\in A$ אזי מתקיים $\mathbb {N} _{\mathbb {F} }=A$ נתון $A\subseteq \mathbb {F}$. מצד שני נתון כי $A$ אינדוקטיבית ולכן $\mathbb {N} _{\mathbb {F} }\subseteq A$. $\mathbb {N} =A$

טענה 5: הטבעים שווים וגדולים מאחד: $\forall n\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }\geq 1$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb {N} |n\geq 1\}$.נתון $I\subseteq \mathbb {N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית $I=\mathbb {N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : 1$1\in \mathbb {N}$ מפני שהקבוצה $I$ מוגדרת להיות כל המספרים הטבעים הכוללים את המספר אחד. $n+1\in \mathbb {N}$: יהי $n\in \mathbb {N}$ ולכן $n\in I$. $n+1\in \mathbb {N}$ כי $\mathbb {N}$ אינדוקטיבית ולכן $n+1_{\mathbb {F} }\in I$. לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb {N} \subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb {N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 6: $\mathbb {N} *\mathbb {N} =\mathbb {N}$:$\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N}$:$\forall n,m\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }\ n+m\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb {N} |m+n\in \mathbb {N} \}$.נתון $I\subseteq \mathbb {N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית $I=\mathbb {N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : 1$1\in \mathbb {N}$ מפני שהקבוצה $I$ מוגדרת להיות כל המספרים הטבעים הכוללים את המספר אחד. $n\in \mathbb {N}$ ולכן $n+1\in \mathbb {N}$ כי הטבעים הם קבוצה אינדוקטיבית. $m+1\in \mathbb {N}$: יהי $n\in \mathbb {N}$ ולכן $m+(n+1)\in I$. על פי קיבוץ מתקיים $(m+n)+1\in I$ לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb {N} \subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb {N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 7: $\forall n,m\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }\ nm\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }$

טענה 8: $\forall n\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }\ n>1_{\mathbb {F} }\Rightarrow n-1_{\mathbb {F} }$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb {N} |n-1_{\mathbb {F} }\}\ \cup \{1\}$.נתון $I\subseteq \mathbb {N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית אזי $I=\mathbb {N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : $1\in I$ מפני שהגדרנו שהוא נמצא בה. יהי $n\in \mathbb {N}$ ולכן $n\in I$ ולכן $n+1\in \mathbb {N}$ כי $\mathbb {N}$ אינדוקטיבית. $(n+1_{\mathbb {F} })-1_{\mathbb {F} }=n\in \mathbb {N}$ ומכאן $n+1\in I$ לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb {N} \subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb {N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 9: $\forall n,m\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }\ m>n_{\mathbb {F} }\Rightarrow m-n_{\mathbb {F} }$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb {N} |\forall m\in \mathbb {N} n>m\Rightarrow n-m\in \mathbb {N} \}$.נתון $I\subseteq \mathbb {N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית אזי $I=\mathbb {N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : $1\in I$ על פי טענה 8. יהי $m>n+1\Rightarrow m-n>1$ מתקיים $m>n$ ולכן על פי ההגדרה של קבוצת $I$ מתקיים $(m-n)-1\in \mathbb {N}$. $(m-n)-1\in \mathbb {N} =m-(n+1)\in \mathbb {N}$ ולכן $n+1\in \mathbb {N}$ לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb {N} \subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb {N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 10: $\forall n\in \forall x\in \mathbb {F} \mathbb {N} _{\mathbb {F} }\ n<x<n+1_{\mathbb {F} }\Rightarrow x\neq \mathbb {N} _{\mathbb {F} }$ יהי $n\in \mathbb {N}$ נניח בשלילה כי $\exists m\in \mathbb {N} \ n<m<n+1$ כלומר על פי אי שיוויון הימיני מתקיים $m-n<1$ בסתירה לטענה 9 לפיה מתקיים $\forall n,m\in \mathbb {N} _{\mathbb {F} }\ m>n_{\mathbb {F} }\Rightarrow m-n_{\mathbb {F} }$ ולכן $m-n\in \mathbb {N}$

זוגיים ואי זוגיים

הגדרה 3: זוגיים ואי זוגיים $n\in \mathbb {N}$ זוגי אם $\exists n=2m$ לחילופין ניתן להגדיר את האי זוגים, ורק אחת משתי ההגדרות תקפה (ההגדרה השניה היא מסקנה על פי הראשונה): $n\in \mathbb {N}$ אי זוגי אם $\exists n=2m-1$