חשבון אינפיניטסימלי/טבעים

קבוצה אינדוקטיבית

הגדרה 1: חיתוך משותף $\cap \mathrm{\Gamma }$ תהי $A$ קבוצה ותהי הקבוצה $\mathrm{\Gamma }$, קבוצה המכילה את תתי הקבוצות של $A$. החיתוך המשותף של קבוצת $\mathrm{\Gamma }$ תהיה קבוצת כל האיברים של $A$ הנמצאים בכל אחת מהקבוצות של $\mathrm{\Gamma }$

דוגמה 1: חיתוך משותף $A=a,b,c,d$ $\mathrm{\Gamma }=\{\{a,b\},\{c,b\}\}$ $\cap \mathrm{\Gamma }=\{b\}$

הגדרה 2: קבוצה אינדוקטיבית יהי שדה סדור $𝔽(+,\ast ,>)$. תהי $A\subseteq 𝔽$ תת קבוצה של השדה. נאמר ש-$A$ קבוצה אינדוקטיבית אם מקיימת : $1_{𝔽}\in A$ $\mathrm{\forall }x\in 𝔽x+1_{𝔽}\in A$

טענה 1: $𝔽$ אינדוקטיבית

טענה 2: ${𝔽}^{+}$ אינדוקטיבית

טענה 3: ${𝔽}^{+}\cup 0$ אינדוקטיבית

המספרים הטבעים

הגדרה 2: קבוצת המספרים הטבעיים (${\mathbb{N}}_{𝔽}$) תהי $\mathrm{\Gamma }$ קבוצה כל הקבוצות האינדוקטיביות של $𝔽$. תהי ${\mathbb{N}}_{𝔽}$ הקבוצה המקיימת ${\mathbb{N}}_{𝔽}=\cap \mathrm{\Gamma }$ כלומר קבוצת כל האיברים המשותפים של גמא.

טענה 4: ${\mathbb{N}}_{𝔽}$ היא תת קבוצה אינדוקטיבית של השדה (${\mathbb{N}}_{𝔽}\subseteq A$) כדי להוכיח כי ${\mathbb{N}}_{𝔽}$ אינדוקטיבית יש להוכיח כי היא מקיימת $1_{𝔽}\in A$ $\mathrm{\forall }x\in 𝔽x+1_{𝔽}\in A$ תהי $\mathrm{\Gamma }$ קבוצה כל הקבוצות האינדוקטיביות של $𝔽$. על פי הגדרה ${\mathbb{N}}_{𝔽}=\cap \mathrm{\Gamma }$ $1_{𝔽}$ שייך לכל תת הקבוצות של גמא מפני שגמא מכילה את כל הקבוצות האינדוקטיביות ועל פי הגדרה $1_{𝔽}$ שייך לכל קבוצה. על כן בעת $\cap \mathrm{\Gamma }$ בהכרח יהיה המספר $1_{𝔽}$ כי הוא משותף לכל הקבוצות. יהיה $n\in {\mathbb{N}}_{𝔽}$. אם $n$ נמצא בכל קבוצה אינדוקטיבית אז מתקיים שגם $n+1$ נמצא בכל אותן קבוצות כי הן אינדוקטיביות. על כן בעת $\cap \mathrm{\Gamma }$ בהכרח יהיה המספר $n+1_{𝔽}$ כי הוא משותף לכל הקבוצות.

משפט 1: עקרון האינדוקציה: תהי $A\subseteq 𝔽$ תת קבוצה של הטבעיים ( $A\subseteq {\mathbb{N}}_{𝔽}$) המקיימת: $1_{𝔽}\in A$ $\mathrm{\forall }x\in 𝔽x+1_{𝔽}\in A$ אזי מתקיים ${\mathbb{N}}_{𝔽}=A$ נתון $A\subseteq 𝔽$. מצד שני נתון כי $A$ אינדוקטיבית ולכן ${\mathbb{N}}_{𝔽}\subseteq A$. $\mathbb{N}=A$

טענה 5: הטבעים שווים וגדולים מאחד: $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{𝔽}\ge 1$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb{N}|n\ge 1\}$.נתון $I\subseteq \mathbb{N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית $I=\mathbb{N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : 1$1\in \mathbb{N}$ מפני שהקבוצה $I$ מוגדרת להיות כל המספרים הטבעים הכוללים את המספר אחד. $n+1\in \mathbb{N}$: יהי $n\in \mathbb{N}$ ולכן $n\in I$. $n+1\in \mathbb{N}$ כי $\mathbb{N}$ אינדוקטיבית ולכן $n+1_{𝔽}\in I$. לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb{N}\subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb{N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 6: $\mathbb{N}\ast \mathbb{N}=\mathbb{N}$:$\mathbb{N}+\mathbb{N}=\mathbb{N}$:$\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbb{N}}_{𝔽}n+m\in {\mathbb{N}}_{𝔽}$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb{N}|m+n\in \mathbb{N}\}$.נתון $I\subseteq \mathbb{N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית $I=\mathbb{N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : 1$1\in \mathbb{N}$ מפני שהקבוצה $I$ מוגדרת להיות כל המספרים הטבעים הכוללים את המספר אחד. $n\in \mathbb{N}$ ולכן $n+1\in \mathbb{N}$ כי הטבעים הם קבוצה אינדוקטיבית. $m+1\in \mathbb{N}$: יהי $n\in \mathbb{N}$ ולכן $m+(n+1)\in I$. על פי קיבוץ מתקיים $(m+n)+1\in I$ לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb{N}\subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb{N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 7: $\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbb{N}}_{𝔽}nm\in {\mathbb{N}}_{𝔽}$

טענה 8: $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{𝔽}n>1_{𝔽}\Rightarrow n-1_{𝔽}$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb{N}|n-1_{𝔽}\}\cup \{1\}$.נתון $I\subseteq \mathbb{N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית אזי $I=\mathbb{N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : $1\in I$ מפני שהגדרנו שהוא נמצא בה. יהי $n\in \mathbb{N}$ ולכן $n\in I$ ולכן $n+1\in \mathbb{N}$ כי $\mathbb{N}$ אינדוקטיבית. $(n+1_{𝔽})-1_{𝔽}=n\in \mathbb{N}$ ומכאן $n+1\in I$ לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb{N}\subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb{N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 9: $\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbb{N}}_{𝔽}m>n_{𝔽}\Rightarrow m-n_{𝔽}$ נגדיר את הקבוצה: $I=\{n\in \mathbb{N}|\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}n>m\Rightarrow n-m\in \mathbb{N}\}$.נתון $I\subseteq \mathbb{N}$ נוכיח כי היא אינדוקטיבית. אם נוכיח שהיא אינדוקטיבית אזי $I=\mathbb{N}$ ולכן החוק הנ"ל נכון לכל מספר טבעי. בכדי להוכיח שהיא אינדוקטיבית עלינו להוכיח כי : $1\in I$ על פי טענה 8. יהי $m>n+1\Rightarrow m-n>1$ מתקיים $m>n$ ולכן על פי ההגדרה של קבוצת $I$ מתקיים $(m-n)-1\in \mathbb{N}$. $(m-n)-1\in \mathbb{N}=m-(n+1)\in \mathbb{N}$ ולכן $n+1\in \mathbb{N}$ לכן $I$ אינדוקטיבית ומתקיים על פי משפט עקרון האינדוקציה ש-$\mathbb{N}\subseteq I$ ומכאן $I=\mathbb{N}$ ואת הטענה מקיים כל מספר טבעי.

טענה 10: $\mathrm{\forall }n\in \mathrm{\forall }x\in 𝔽{\mathbb{N}}_{𝔽}n<x<n+1_{𝔽}\Rightarrow x\ne {\mathbb{N}}_{𝔽}$ יהי $n\in \mathbb{N}$ נניח בשלילה כי $\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}n<m<n+1$ כלומר על פי אי שיוויון הימיני מתקיים $m-n<1$ בסתירה לטענה 9 לפיה מתקיים $\mathrm{\forall }n,m\in {\mathbb{N}}_{𝔽}m>n_{𝔽}\Rightarrow m-n_{𝔽}$ ולכן $m-n\in \mathbb{N}$

זוגיים ואי זוגיים

הגדרה 3: זוגיים ואי זוגיים $n\in \mathbb{N}$ זוגי אם $\mathrm{\exists }n=2m$ לחילופין ניתן להגדיר את האי זוגים, ורק אחת משתי ההגדרות תקפה (ההגדרה השניה היא מסקנה על פי הראשונה): $n\in \mathbb{N}$ אי זוגי אם $\mathrm{\exists }n=2m-1$