חשבון אינפיניטסימלי/חסימות ואיבר מינימלי

מינמום

הגדרה 1: מינמום של קבוצה יהי $\mathbb {F} (+,*,<)$ שדה סדור ותהי תת קבוצה $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {F}$. נאמר ש-$m$ הוא מינמום של הקבוצה אם: $m\in A$ $\exists m\in A\ \ \forall a\in A\ \ \ m\leq a$

טענה 1: מינמום הוא יחיד נניח בשלילה כי קיימים שני חסמים תחתונים מינמלים: $m_{1},m_{2}$ מתקים: עבור $m_{1}$: $\exists m_{1}\in A\ \ \forall a\in A\ \ \ m_{1}\leq a$ על כן $m_{2}\geq m_{1}$ עבור $m_{2}$: $\exists m_{2}\in A\ \ \forall a\in A\ \ \ m_{2}\leq a$ על כן $m_{1}\geq m_{2}$ מכאן ש-$m_{1}=m_{2}$

מקסימום

הגדרה 2: מקסימום של קבוצה יהי $\mathbb {F} (+,*,<)$ שדה סדור ותהי תת קבוצה $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {F}$. נאמר ש-$m$ הוא מינמום של הקבוצה אם: $m\in A$ $\exists m\in A\ \ \forall a\in A\ \ \ m\geq a$

טענה 2: מקסימום הוא יחיד

חסימות בטבעים

משפט 1: עקרון הסדר הטוב: תהי $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {N}$ תת קבוצה של הטבעיים לא ריקה אזי יש לקבוצה $A$ איבר מינימלי תהי $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {N}$. נניח בשלילה כי אין לקבוצה $A$ איבר מינימלי. אם $1\in A$ אזי $minA=1$ על פי הטענה $\forall n\in \mathbb {N} \ \ 1\leq n$ לכן $1\notin A$ ומתקיים $\forall x\in A\ \ \ x>1$ נגדיר: $I=\{n\in \mathbb {N} |\forall x\in A\ \ n<A\}$, קבוצת כל האיברים המינמלים - נוכיח זאת: על פי ההגדרה $A\subseteq I$ אם נוכיח כי הקבוצה היא אינדוקטיבית קיבלנו סתירה מפני שלכאורה $A\cap I=\emptyset$. הרי על פי הגדרה $I$ מכילה את כל האיברים $n<A$. אם $I=\mathbb {N}$ ו-$A\in \mathbb {N}$ אז $I=A$) נוכיח כי הקבוצה $I$ היא אינדוקטיבית: $1\in I$ מפני שקבוצת הטבעים היא קבוצה אינדוקטיבית. יהי $n\in I$. מאחר שהנחנו בשלילה ש-$I$ לא אינדקוטיבית מתקיים $n+1\notin I$ אם $n+1\notin I$ אז הוא לא מקיים את הגדרת הקבוצה $n<A$ כלומר קיים $a_{1}\in A$ כך ש-$a_{1}\leq n+1$ נתון כי $A$ אינה חסומה ולכן קיים $a_{0}\in \mathbb {N}$ המקיים $n<a_{0}\leq a_{1}\leq n+1$ על כן מתקיים $n<a_{0}<n+1$ בסתירה למשפט ש-$\forall n\in \mathbb {N} \not \exists m\in \mathbb {N} n<m<n+1$. לכן $n+1\in I$. מכאן $I$ אינדקוטיבית ומתקיים $I=\mathbb {N}$ בסתירה לכך ש-$A=\emptyset$

חסימות בשדה

הגדרה 2: קבוצה חסומה מלמעלה/מלעיל בשדה $\exists S\in \mathbb {F} \ \ \forall a\in A\ a\leq S$

הגדרה 3: קבוצה חסומה מלמעלה בטבעים $\exists S\in \mathbb {N} \ \ \forall a\in A\ a\leq S$

הגדרה 4: קבוצה חסומה מלמטה/מלרע בשדה $\exists I\in \mathbb {F} \ \ \forall a\in A\ a\geq I$

הגדרה 5: קבוצה חסומה $\exists S\in \mathbb {F} \ \ \forall a\in A\ |a|\leq S$

חסם עליון ותחתון

הגדרה 6: חסם עליון (lub\supermum) תהי $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {A}$. נאמר ש-$s\in \mathbb {R}$ הוא חסם עליון של הקבוצה אם: $\forall a\in Aa\leq s$ $\forall \epsilon >0\ \exists a\in A\ s-\epsilon <a\leq s$ כלומר לא קיים חסם קטן יותר ממנו. החסם העליון גדול מכל איברי הקבוצה $a$. אם הסופרמום הוא מקסימום של הקבוצה הוא יכול להיות גם שווה לאחד מאיברי הקבוצה. אם נצעד אפסילון (מעט מאוד) צעדים נגיע אל איברי הקבוצה

טענה 2: קיים סופרמום יחיד לקבוצה נניח בשלילה כי קיימים שני סופרמומים לקבוצה לא ריקה A ונסמנם $s,s'$. עבור $s$: $\exists s\in A\ \ \forall a\in A\ \ \ s\leq a$ על כן $s'\geq s$ עבור $s'$: $\exists s'\in A\ \ \forall a\in A\ \ \ s'\leq a$ על כן $s\geq s'$ מכאן ש-$s=s'$

הגדרה 6: חסם תחתון (infimum / glb) תהי $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {F}$. נאמר ש-$I\in \mathbb {R}$ הוא חסם תחתון של הקבוצה אם: $\forall a\in Aa\geq s$ $\forall \epsilon >0\ \exists a\in A\ I<a<I+\epsilon$

טענה 3: קיים אינפימום יחיד לקבוצה

משפט 1: עקרון החסם העליון: תהי $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {F}$ חסומה מלמעלה אזי יש לקבוצה חסם עליון בממשים נתון כי $A$ חסומה מלמעלה. נסמן: $\emptyset \neq U\subset \mathbb {F}$ קבוצת כל החסמים מלמעלה של הקבוצה $A$, בהכרח לא ריקה (הרי הקבוצה A חסומה מלמעלה). על פי אקסיומת השלמות קיים $c\in \mathbb {R}$ יחיד כך ש-$\forall a\in A\ \forall u\in U\ a\leq c\leq u$ כלומר $c=supA$ מפני שהוא : $\forall a\in A\ a\leq c$ $c$ הוא החסם הקטן ביותר בקבוצת החסמים $U$

משפט 1: עקרון החסם התחתון:: תהי $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {F}$ חסומה מלמטה אזי יש לקבוצה חסם מלמטה בממשים

טענה 4: תהי $\mathbb {R} ^{+}=\{x\in \mathbb {R} |0<x\}$ אזי $inf(\mathbb {R^{+}} )=0$ אפס הוא חסם מלרע של $\mathbb {R} ^{+}$ על פי הגדרה. נניח בשלילה כי קיים חסם תחתון קטן יותר מאפס כלומר $I>0$. יהי ${\frac {I}{2}}\in \mathbb {R} ^{+}$. ${\frac {I}{2}}<I$ כלומר $I$ אינו חוסם אותו למרות שהוא שייך לקבוצה ולכן $I$ אינו חסם של הקבוצה. על כן $I\leq 0$