חשבון אינפיניטסימלי/חסימות ואיבר מינימלי
מינמום
[עריכה]
הגדרה 1: מינמום של קבוצה יהי שדה סדור ותהי תת קבוצה . נאמר ש- הוא מינמום של הקבוצה אם: |
טענה 1: מינמום הוא יחיד נניח בשלילה כי קיימים שני חסמים תחתונים מינמלים: מתקים: עבור : על כן עבור : על כן מכאן ש- |
מקסימום
[עריכה]
הגדרה 2: מקסימום של קבוצה יהי שדה סדור ותהי תת קבוצה . נאמר ש- הוא מינמום של הקבוצה אם: |
טענה 2: מקסימום הוא יחיד |
חסימות בטבעים
[עריכה]
משפט 1: עקרון הסדר הטוב: תהי תת קבוצה של הטבעיים לא ריקה אזי יש לקבוצה איבר מינימלי תהי . נניח בשלילה כי אין לקבוצה איבר מינימלי. אם אזי על פי הטענה לכן ומתקיים נגדיר: , קבוצת כל האיברים המינמלים - נוכיח זאת: על פי ההגדרה אם נוכיח כי הקבוצה היא אינדוקטיבית קיבלנו סתירה מפני שלכאורה . הרי על פי הגדרה מכילה את כל האיברים . אם ו- אז ) נוכיח כי הקבוצה היא אינדוקטיבית:
על כן מתקיים בסתירה למשפט ש-. לכן . מכאן אינדקוטיבית ומתקיים בסתירה לכך ש- |
חסימות בשדה
[עריכה]
הגדרה 2: קבוצה חסומה מלמעלה/מלעיל בשדה
|
הגדרה 3: קבוצה חסומה מלמעלה בטבעים
|
הגדרה 4: קבוצה חסומה מלמטה/מלרע בשדה
|
הגדרה 5: קבוצה חסומה
|
חסם עליון ותחתון
[עריכה]
הגדרה 6: חסם עליון (lub\supermum) תהי . נאמר ש- הוא חסם עליון של הקבוצה אם:
|
טענה 2: קיים סופרמום יחיד לקבוצה נניח בשלילה כי קיימים שני סופרמומים לקבוצה לא ריקה A ונסמנם . עבור : על כן עבור : על כן מכאן ש- |
הגדרה 6: חסם תחתון (infimum / glb) תהי . נאמר ש- הוא חסם תחתון של הקבוצה אם: |
טענה 3: קיים אינפימום יחיד לקבוצה |
משפט 1: עקרון החסם העליון: תהי חסומה מלמעלה אזי יש לקבוצה חסם עליון בממשים נתון כי חסומה מלמעלה. נסמן: קבוצת כל החסמים מלמעלה של הקבוצה , בהכרח לא ריקה (הרי הקבוצה A חסומה מלמעלה). על פי אקסיומת השלמות קיים יחיד כך ש- כלומר מפני שהוא :
|
משפט 1: עקרון החסם התחתון:: תהי חסומה מלמטה אזי יש לקבוצה חסם מלמטה בממשים |
טענה 4: תהי אזי אפס הוא חסם מלרע של על פי הגדרה. נניח בשלילה כי קיים חסם תחתון קטן יותר מאפס כלומר . יהי . כלומר אינו חוסם אותו למרות שהוא שייך לקבוצה ולכן אינו חסם של הקבוצה. על כן |