חשבון אינפיניטסימלי/חסימות ואיבר מינימלי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מינמום[עריכה]

הגדרה 1: מינמום של קבוצה

יהי שדה סדור ותהי תת קבוצה .

נאמר ש- הוא מינמום של הקבוצה אם:


טענה 1: מינמום הוא יחיד

נניח בשלילה כי קיימים שני חסמים תחתונים מינמלים: מתקים:

עבור : על כן

עבור : על כן

מכאן ש-

מקסימום[עריכה]

הגדרה 2: מקסימום של קבוצה

יהי שדה סדור ותהי תת קבוצה .

נאמר ש- הוא מינמום של הקבוצה אם:


טענה 2: מקסימום הוא יחיד

חסימות בטבעים[עריכה]

משפט 1: עקרון הסדר הטוב: תהי תת קבוצה של הטבעיים לא ריקה אזי יש לקבוצה איבר מינימלי

תהי . נניח בשלילה כי אין לקבוצה איבר מינימלי.

אם אזי על פי הטענה

לכן ומתקיים

נגדיר: , קבוצת כל האיברים המינמלים - נוכיח זאת:

על פי ההגדרה

אם נוכיח כי הקבוצה היא אינדוקטיבית קיבלנו סתירה מפני שלכאורה . הרי על פי הגדרה מכילה את כל האיברים . אם ו- אז )

נוכיח כי הקבוצה היא אינדוקטיבית:

  • מפני שקבוצת הטבעים היא קבוצה אינדוקטיבית.
  • יהי . מאחר שהנחנו בשלילה ש- לא אינדקוטיבית מתקיים
  • אם אז הוא לא מקיים את הגדרת הקבוצה כלומר קיים כך ש-
  • נתון כי אינה חסומה ולכן קיים המקיים

על כן מתקיים בסתירה למשפט ש-.

לכן . מכאן אינדקוטיבית ומתקיים

בסתירה לכך ש-


חסימות בשדה[עריכה]

הגדרה 2: קבוצה חסומה מלמעלה/מלעיל בשדה


הגדרה 3: קבוצה חסומה מלמעלה בטבעים


הגדרה 4: קבוצה חסומה מלמטה/מלרע בשדה


הגדרה 5: קבוצה חסומה

חסם עליון ותחתון[עריכה]

הגדרה 6: חסם עליון (lub\supermum)

תהי . נאמר ש- הוא חסם עליון של הקבוצה אם:

  1. כלומר לא קיים חסם קטן יותר ממנו.
החסם העליון גדול מכל איברי הקבוצה . אם הסופרמום הוא מקסימום של הקבוצה הוא יכול להיות גם שווה לאחד מאיברי הקבוצה. אם נצעד אפסילון (מעט מאוד) צעדים נגיע אל איברי הקבוצה


טענה 2: קיים סופרמום יחיד לקבוצה

נניח בשלילה כי קיימים שני סופרמומים לקבוצה לא ריקה A ונסמנם .

עבור : על כן

עבור : על כן

מכאן ש-


הגדרה 6: חסם תחתון (infimum / glb)

תהי . נאמר ש- הוא חסם תחתון של הקבוצה אם:


טענה 3: קיים אינפימום יחיד לקבוצה



משפט 1: עקרון החסם העליון: תהי חסומה מלמעלה אזי יש לקבוצה חסם עליון בממשים

נתון כי חסומה מלמעלה.

נסמן: קבוצת כל החסמים מלמעלה של הקבוצה , בהכרח לא ריקה (הרי הקבוצה A חסומה מלמעלה).

על פי אקסיומת השלמות קיים יחיד כך ש-

כלומר מפני שהוא :

  1. הוא החסם הקטן ביותר בקבוצת החסמים



משפט 1: עקרון החסם התחתון:: תהי חסומה מלמטה אזי יש לקבוצה חסם מלמטה בממשים


טענה 4: תהי אזי

אפס הוא חסם מלרע של על פי הגדרה.

נניח בשלילה כי קיים חסם תחתון קטן יותר מאפס כלומר .

יהי .

כלומר אינו חוסם אותו למרות שהוא שייך לקבוצה ולכן אינו חסם של הקבוצה. על כן