חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/מבוא לגבולות

מבוא זה לגבולות מראה את השימוש והצורך במושג הגבול.

מציאת משיקים

משיק לעקום כלשהו מוגדר באופן חופשי כקו אשר נוגע בעקום. במילים אחרות, לקו המשיק יש את אותו הכיוון כמו לעקום בנקודת ההשקה. ברצוננו למצוא הגדרה מדויקת לרעיון הזה. לשם כך, נסתכל על הדוגמה הבאה.

דוגמה: מצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה $y=x^{3}$ בנקודה $A(1,1)$.

המחשה גרפית של הפונקציה והישרים

משוואת ישר ניתן למצוא באמצעות נקודה ושיפוע. נקודה יש לנו (נקודת ההשקה) וכאשר נמצא את שיפוע המשיק $m$, נוכל גם למצוא את משוואת המשיק (המסומן בציור משמאל בצבע ירקרק). בעיקרון ניתן לחשב שיפוע של ישר, באמצעות שתי נקודות הנמצאות עליו, אך במקרה זה יש לנו רק נקודה אחת שאנו יודעים שנמצאת על המשיק -- הנקודה $A$. נוכל אולם למצוא קירוב לערכו של השיפוע אם נבחר נקודה $B(x,x^{3})$ אשר קרובה לנקודה $A$ ונמצאת על גרף הפונקציה, ואז נחשב את השיפוע $m_{AB}$ של הקו $AB$ (המסומן בצבע כחול בציור משמאל).

נבחר $x\neq 1$ כדי שלא יווצר מצב שהנקודות $A$ ו-$B$ מתלכדות, ואז נקבל:

$m_{AB}={\frac {x^{3}-1}{x-1}}$

נבחר, למשל, את B להיות $B(2,2^{3})$, כלומר $B(2,8)$. תחת הבחירה הזו, נקבל:

$m_{AB}={\frac {8-1}{2-1}}=7$

הטבלה הבאה מראה ערכים שונים של השיפוע $m_{AB}$, ככל ש-$x$ מתקרב ל-1, כלומר הנקודה $B$ מתקרבת לנקודה $A$, מימין או משמאל.

$m_{AB}$	$x$		$m_{AB}$	$x$
1	0		13	3
1.75	0.5		7	2
2.44	0.8		4.75	1.5
2.71	0.9		3.31	1.1
2.9701	0.99		3.0301	1.01
2.997001	0.999		3.003001	1.001

ממבט בטבלה, נוצר הרושם שככל ש-$x$ מתקרב ל-1, מתקרב השיפוע $m_{AB}$ ל-3. לפיכך, ננחש כי השיפוע של הקו המשיק $AB$ הוא $m=3$. אנו נאמר כי השיפוע של המשיק הוא גבול השיפוע של הישר $AB$ ונכתוב זאת מתמטית באופן הבא:

$\lim _{B\to A}m=m_{AB}$ וכן $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{3}-1}{x-1}}=3$.

בהנחה ששיפועו של המשיק הוא אכן 3, משוואת הישר תהא:

$y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.

בחזרה לעמוד הפתיחה חשבון אינפיניטסימלי/גבולות

הנושא הבא בפרק זה: חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה הלא מדויקת של הגבול