חשבון/שברים/שברים עשרוניים אינסופיים

שברים עשרוניים אינסופיים

לא בכל השברים העשרוניים יש מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה. בחלקם יש מספר אינסופי של ספרות אחרי הנקודה. יוזכר, עם זאת, שמספר הספרות שלפני הנקודה הוא תמיד סופי, גם אם גדול, בכל מספר ומספר.

נתבונן לדוגמה בשבר הפשוט ${\frac {1}{3}}$. שבר זה אין דרך להציג כשבר עשרוני עם מספר סופי של ספרות אחרי הנקודות, כי אי אפשר להרחיב אותו כך שהמכנה שלו יהיה מהצורה של 1 ואחריו מספר כלשהו של אפסים. ניתן להציג אותו כשבר עשרוני אינסופי מהצורה הבאה: $\ 0.33333333333...$. שבר מסוג זה נקרא שבר אינסופי מחזורי, והוא תמיד ניתן להצגה כשבר פשוט. לעיתים המחזור הוא של שתי ספרות: ${\frac {1}{11}}=0.0909090909090909...$, ולעיתים של יותר ספרות, למשל שש ספרות: ${\frac {1}{7}}=0.142857142857142857...$. לעיתים יש לשבר חלק סופי שאחריו בא חלק אינסופי מחזורי, לדוגמה: ${\frac {1}{6}}=0.166666666666...$. את כל השברים האינסופיים המחזוריים ניתן להציג כשברים פשוטים, ולכן גם הם מספרים רציונליים.

ישנם גם שברים עשרונים אינסופיים שאינם מחזוריים. שברים אלה מייצגים מספרים כמו פאי, שאינם ניתנים לייצוג כשברים פשוטים. מספרים אלה נקראים מספרים אי-רציונליים.

לסיכום, שברים עשרוניים סופיים ואינסופיים מחזוריים הם רציונליים; שברים עשרוניים אינסופיים שאינם מחזוריים הם אי-רציונליים.

שברים פשוטים מול שברים עשרוניים

לעיתים עולה השאלה האם כדאי לייצג מספרים שאינם שלמים באמצעות שברים פשוטים או באמצעות שברים עשרוניים. התשובה אינה פשוטה ותלויה בתנאי הבעיה המתמטית.

היתרונות של השברים העשרוניים:

• היתרון הגדול הוא שלשבר עשרוני יש מיקום פשוט בציר המספרים, וניתן בקלות לסדר את השברים לפי ערכם מקטן לגדול.
• לא דרוש בשבילם סימון מיוחד מעבר לנקודה העשרונית. יתרון זה חיוני במיוחד למחשבים ולמחשבונים, ועל כן הם בדרך כלל בשימוש שם במקום השברים הפשוטים.
• הסימון הדומה לסימון הרגיל של המספרים, והמקל על השוואה בין השברים.
• הספרות ערוכות בסדר חשיבות פוחת: ככל שהספרות רחוקות יותר מהנקודה העשרונית, הן חשובות פחות ומשנות פחות את המספר. כאשר הדיוק פחות חשוב, ניתן להשמיט ספרות אלה, ולרוב ניתן להסתפק בייצוג עם שתיים או שלוש ספרות לאחר הנקודה; עם זאת, לא כדאי לעשות זאת כשעוסקים בחשבון בפני עצמו.
• המספרים העשרוניים הם היחידים שיכולים לייצג (גם אם בייצוג שאינו מדויק לחלוטין) מספרים אי-רציונליים, כגון פאי שהוזכר בפיסקה הקודמת; מספרים אלה כוללים אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית ואינם מחזוריים, ולפי הגדרתם, אינם ניתנים להצגה כשבר פשוט.

היתרונות של השברים הפשוטים:

• ניתן לייצג באמצעותם בפשטות כל מספר רציונלי, בלי להסתבך בייצוגים עם אינסוף ספרות (הגם שמחזוריים).
• קל מאוד לשמור על הדיוק המתמטי ואין סיבה להשמיט ספרות לאחר הנקודה.
• ייצוג קצר, פשוט ואינטואיטיבי: השוו את ${\frac {1}{16}}$ עם $\ 0.0625$ (שניהם מייצגים את אותו המספר).

בעיקרו של דבר, מומלץ לבחור בשברים הפשוטים כאשר מבקשים לייצג במדויק מספרים שכשברים עשרוניים יהיו אינסופיים ומחזוריים, ואין ברירה אלא לבחור בשברים העשרוניים כדי לייצג מספרים אי-רציונליים (אלא אם מסמנים אותם באותיות, דוגמת $\ \pi$ - פאי). במספרים אחרים, זה בעיקר עניין של טעם אישי.

המרת שברים עשרוניים אינסופיים מחזוריים לשברים פשוטים

כאמור, שברים עשרוניים אינסופיים מחזוריים ניתנים להמרה לשברים פשוטים, באופן הבא:

• אם לשבר יש רק חלק מחזורי, לדוגמה 0.6363636363, יש לחלק את החלק המחזורי במספר בעל אותו מספר ספרות שכולן 9. במקרה זה החלק המחזורי הוא 63, ועל כן השבר הינו ${\frac {63}{99}}$ וניתן לצמצם אותו ל-${\frac {7}{11}}$.
• אם לשבר יש חלק סופי ואחריו חלק מחזורי, לדוגמה 0.13592592592, יש לחבר שני שברים: החלק הסופי (13) שיומר לשבר פשוט באופן הרגיל (${\frac {13}{100}}$), והחלק המחזורי (592), שמחלקים אותו במספר הכולל ספרות שכולן 9 באורך החלק המחזורי, ואחריהן ספרות שכולן 0 באורך החלק הסופי. כלומר: ${\frac {13}{100}}+{\frac {592}{99900}}$. ניתן לצמצם שבר זה ל-${\frac {13579}{99900}}$.

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.