חשבון/שברים/צמצום והרחבה

גורם הו גם המונה וגם המחנה.

פעולת הצמצום והרחבה

ניתן להציג את אותו השבר בצורות שונות על ידי פעולת חילוק וכפל. לדוגמה השבר ${\frac {1}{2}}$ זהה בגודלו לשבר ${\frac {2}{4}}$ או ל-${\frac {100}{200}}$ מפני שהתוצאה של השבר נותן לנו מנה זהה. במילים אחרות, גודל השבר זהה אך הרישום שלו שונה. בדומה אולי למילים נרדפות בעברית, כפי שניתן לתאר ירח באמצעות מילים שונות כ"סהר" ו"לבנה" כך ניתן להציג את השבר.

כדאי לדעת: חשוב לזכור שהרחבה וצמצום אינן משנות את השבר עצמו, אלא אך ורק את צורת ההצגה שלו.

נחיצות צמצום והרחבה

שנים וחצי אפרסקים ($\ 2{\frac {1}{2}}$)

לדויד היו שנים וחצי אפרסקים הוא רצה לחלק אותם בין חמשת חבריו. כמה כל חבר יקבל?

פתרון

יש לחלק את האפרסקים השלמים לחצאים שווים, כך מתקבלים 5 חצאים. כל חבר יקבל חצי (${\frac {1}{2}}$) אפרסק.

אפרסק וחצי ($\ 1{\frac {1}{2}}$)

לדינה היה אפרסק וחצי. היא רצתה לחלק את האפרסק בין ששת חבריה. כמה כל חבר יקבל?

פתרון

יש לחלק את האפרסק לארבעה רבעים שווים. את חצי האפרסק יש לחתוך לעוד חצי, כך, שנקבל רבע אפרסק. סה״כ יש לנו 6 רבעי-אפרסקים וכל ילד יקבל רבע (${\frac {1}{4}}$) אפרסק.

ציור

כדי למצוא את כמות חתיכות הפרי שיש לתת לכל חבר, היה עלינו לחלק את הפרות לחתיכות שוות בגודלן, בין אם דובר בחצאים או רבעים שווים.

חלקים שונים, גדלים זהים

כל שלם יכול להיות מחולק למספר שונה של חלקים : חלק אחד, חצאים, שלישים, רבעים ועוד. עם זאת, גודל השלם ישאר אותו גודל, כל עוד נקח את אותה כמות חלקים ונשמור על השלם. במילים אחרות : $1={\frac {2}{2}}={\frac {3}{3}}\cdots$

${\frac {2}{3}}={\frac {4}{6}}$

אם נצטרך נוכל לחלק את השלם ליותר חלקים, תוך שמירה על כמות החלקים ממה שקיים. כפי שעשינו בתרגיל השני.

מכאן, שקיים מגוון רחב של שברים השווים זה לגודל זה. כיצד מוצאים שברים השווים זה לגודל זה?

צמצום והרחבה

אם נביט באיור הקודם נראה כי המכנה של ${\frac {2}{3}}$ הוא שלוש, המתחלק במכנה שש ($\ 6:3=2$) של השבר ${\frac {4}{6}}$, השווה בגודלו לשבר של המכנה שלוש. נשם לב כי המונה של השבר ${\frac {4}{6}}$ גדול גם הוא פי 2 מהשבר ${\frac {2}{3}}$.

לכן כאשר נרצה להרחיב שבר נכפיל את המכנה והמונה באותה מכפלה ולהפך, כאשר נרצה  
לצמצם שבר, נצטרך למצוא מספר המתחלק במונה ובמכנה ולחלק בו את המונה והמכנה. כך שנקבל
שבר השווה בערכו.

למשל, אנחנו רוצים להרחיב את השבר ${\frac {3}{4}}$. בכדי להרחיב אותו עלינו להכפיל את המונה והמכנה באותה מכפלה. נחליט כי נכפיל את השבר במספר שתים ונרחיב את השבר. ${\frac {3}{4}}={\frac {3*2}{4*2}}={\frac {6}{8}}$.

עתה, נצמצם שבר אחר, ${\frac {6}{12}}$. המונה והמכנה מתחלקים במספר שתים, נחלק אותם ונגלה את השבר המצומצם  : ${\frac {6}{12}}={\frac {6:2}{12:2}}={\frac {3}{6}}$. אפשר לראות כי ניתן לצמצם גם את השבר החדש במספר שלוש : ${\frac {3}{6}}={\frac {3:3}{6:3}}={\frac {1}{2}}$. מכאן ששלושת השברים שווים זה לזה : ${\frac {6}{12}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$.

שימו לב: בדרך כלל נרצה להציג את השבר בצורתו המצומצמת ביותר.