לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט קנטור

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

לכל קבוצה מתקיים .

מסקנה של משפט זה: קיימות אינסוף עוצמות שונות.

הוכחה

עבור מתקיים כנדרש.

כעת נוכל להניח .

מתקיים כי הפונקציה המוגדרת הנה חח"ע.

נניח בשלילה כי , אזי לפי ההגדרה קיימת פונקציית שקילות, כלומר חח"ע ועל.

נגדיר .

מאחר ו־ פונקציית שקילות קיים המקיים .

אם נקבל לפי ההגדרה . סתירה.

אחרת, אם נקבל לפי ההגדרה . סתירה.

מכאן נסיק כי , כלומר .