הטענות הבאות שקולות לקבוצה
:
- קיימת
המקיימת
.
- קיימת
(חלקית ממש) המקיימת
.
כלומר, ישנן שתי הגדרות שקולות להיות
קבוצה אינסופית.
- הוכחה
קיימת
המקיימת
, לכן קיימת פונקציית שקילות (חח"ע ועל)
.
נגדיר
, ונראה שהיא אכן שקולה ל-
.
נגדיר
באופן הבא:

נראה כי
חח"ע: יהיו
המקיימים
, ונפריד למקרים:
, כאן
.
, מתקיים
, לכן גם
(וזאת כיון ש-
פונקציית שקילות).
, כאן
בעוד
.
נראה כי
על: יהי
, ונפריד למקרים:
, אזי
.
, אזי
.
לכן
פונקציית השקילות הדרושה.
קיימת
(חלקית ממש) המקיימת
, לכן קיימת פונקציית שקילות (חח"ע ועל)
.
כמו כן, נשים לב כי
, לכן יהי
.
נגדיר פונקציה
באופן הבא:

נניח בשלילה שהיא אינה חח"ע, אזי קיים זוג מינימלי
עבורו
.
אך אם נפעיל על שני האגפים את
נקבל
, בסתירה למינימליות
.
כעת נגדיר
, ואז
הנה פונקציה חח"ע ועל כנדרש.