לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט דדקינד

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הטענות הבאות שקולות לקבוצה  :

  1. קיימת המקיימת .
  2. קיימת (חלקית ממש) המקיימת .

כלומר, ישנן שתי הגדרות שקולות להיות קבוצה אינסופית.

הוכחה

1 גורר 2

[עריכה]

קיימת המקיימת , לכן קיימת פונקציית שקילות (חח"ע ועל) .

נגדיר , ונראה שהיא אכן שקולה ל- .

נגדיר באופן הבא:

נראה כי חח"ע: יהיו המקיימים , ונפריד למקרים:

  • , כאן .
  • , מתקיים , לכן גם (וזאת כיון ש- פונקציית שקילות).
  • , כאן בעוד .

נראה כי על: יהי , ונפריד למקרים:

  • , אזי .
  • , אזי .

לכן פונקציית השקילות הדרושה.

2 גורר 1

[עריכה]

קיימת (חלקית ממש) המקיימת , לכן קיימת פונקציית שקילות (חח"ע ועל) .

כמו כן, נשים לב כי , לכן יהי .

נגדיר פונקציה באופן הבא:

נניח בשלילה שהיא אינה חח"ע, אזי קיים זוג מינימלי עבורו .

אך אם נפעיל על שני האגפים את נקבל , בסתירה למינימליות .

כעת נגדיר , ואז הנה פונקציה חח"ע ועל כנדרש.