הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/למת נקודת השבת

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אם והפונקצייה הינה שומרת הכלה (מונוטונית עולה), כלומר ,
אזי .

כלומר, לכל פונקצייה שומרת הכלה יש נקודת שבת.

הוכחה[עריכה]

נגדיר קבוצה . מתקיים ומכאן .
נסמן . מובן כי לפי ההגדרה.

מהגדרת , לכל מתקיים ומכך ש- שומרת הכלה נקבל . ומכאן גם מתקבל .
מהגדרת , לכל מתקיים , ולכן גם .
משילוב שתי התוצאות הללו נקבל .

שוב, שומרת הכלה ולכן , ולכן לפי הגדרת נקבל כי .
מכאן נסיק כי .

הראנו הכלה בשני הכיוונים, כלומר , כנדרש.