הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/איחוד קבוצות בנות מניה בן מניה

אם $\mathbf {A} =\{A_{n}\}_{n\in \omega }$ אוסף בן מניה של קבוצות סופיות או בנות מניה אז $\bigcup \mathbf {A} =\bigcup _{n\in \omega }A_{n}$ גם סופית או בת מניה.

מסקנות של משפט זה:

• עבור אוסף סופי הטענה גם נכונה, נשלים לאוסף בן מניה על-ידי הוספת קבוצות ריקות.
• עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים הנה בת מניה, ובפרט $\mathbb {Q}$ בת מניה.
• אם $A$ ו- $B$ סופיות או בנות מניה אז גם $A\times B$ סופית או בת מניה.

הוכחה

נגדיר $B_{0}=A_{0}$ ולכל $n\in \omega$ נגדיר $B_{n}=A_{n}\setminus \bigcup _{k<n}B_{k}$ .

מובן כי הקבוצות החדשות הנן עדיין סופיות או בנות מניה, זרות בזוגות, וכי מתקיים $\bigcup _{n\in \omega }B_{n}=\bigcup \mathbf {A}$ לפי הבניה.

לכן לכל $n\in \omega$ , לפי ההגדרה, קיימת פונקצייה חח"ע $\varphi _{n}\colon B_{n}\to \omega$ .

לכל $n\in \omega$ נגדיר $p_{n}$ כראשוני ה- $n$ הקטן ביותר (כלומר $p_{0}=2,p_{1}=3,p_{2}=5,\dots$).

נגדיר פונקצייה חדשה $\varphi \colon \bigcup \mathbf {A} \to \omega$ באופן הבא:

לכל $a\in \bigcup \mathbf {A}$ מתקיים $a\in B_{n}$ עבור $n\in \omega$ כלשהו, נגדיר: $\varphi (a)=p_{n}^{\varphi _{n}(a)+1}$ .

$\varphi$ הנה בברור חח"ע, ולכן $\bigcup \mathbf {A}$ סופית או בת מניה גם כן.